Cómo integrar [matemáticas] \ dfrac {1} {(3 \ sen x + 4 \ cos x) ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 1

* A2A

Unnikrishnan Menon ha hecho un trabajo maravilloso aquí. Te daré dos respuestas, la primera es la mía, la siguiente es una versión un poco más corta del trabajo de Unni. Espero que me perdone.

Método 1:

[matemáticas] \ begin {align} a \ cos x + b \ sin x & = R \ cos (x- \ alpha) \\\ text {where} R = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} & \ qquad \ alpha = \ arctan \ left (\ dfrac ba \ right) \\\ hline \\ 4 \ cos x + 3 \ sin x & = 5 \ cos \ left (x- \ arctan \ left (\ dfrac34 \ right) \ right ) \\\ hline I & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {(3 \ sen x + 4 \ cos x) ^ 2} \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {25 \ cos ^ 2 \ left (x- \ arctan \ left (\ dfrac34 \ right) \ right)} \\ & = \ dfrac1 {25} \ int \ sec ^ 2 \ left (x- \ arctan \ left (\ dfrac34 \ right) \ right) \ mathrm dx \\ & = \ dfrac1 {25} \ tan \ left (x- \ arctan \ left (\ dfrac34 \ right) \ right) + C \\ & = \ dfrac1 {25} \ cdot \ dfrac { \ tan x- \ dfrac34} {1+ \ dfrac34 \ tan x} + C \ qquad \ left [\ porque \ tan (AB) = \ dfrac {\ tan A- \ tan B} {1+ \ tan A \ tan B} \ right] \\ & = \ dfrac1 {25} \ cdot \ dfrac {4 \ tan x-3} {4 + 3 \ tan x} + C \\ & = \ dfrac1 {25} \ cdot \ dfrac { 4 \ sen x-3 \ cos x} {4 \ cos x + 3 \ sin x} + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Para aquellos que no creen que esto sea correcto, aquí hay otra respuesta

La superposición completa entre el resultado integral y su derivada nos muestra que la respuesta es 100% correcta.

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Método 2: método de Unni

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {(3 \ sen x + 4 \ cos x) ^ 2} \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ cos ^ 2x \ left (3 \ cdot \ dfrac {\ sin x} {\ cos x} +4 \ right) ^ 2} \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2x} {(3 \ tan x + 4 ) ^ 2} \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm d (\ tan x)} {(3 \ tan x + 4) ^ 2} \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm du} {(3u +4) ^ 2} \ qquad [\ porque u = \ tan x] \\ & = \ dfrac {(3u + 4) ^ {- 1}} {3 (-1)} + C \ qquad \ left [\ porque \ int (ax + b) ^ n \ space \ mathrm dx = \ dfrac {(ax + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)} + C \ right] \\ & = – \ dfrac1 {3 (3 \ tan x + 4)} + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Gracias por el usuario de A2A Quora 🙂

¡Es hora del espectáculo!

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int \ dfrac {dx} {(3 \ sin x + 4 \ cos x) ^ 2} \, & = \ int \ dfrac {dx} {9 \ sin ^ 2x + 16 \ cos ^ 2x + 24 \ sin x \ cos x} \, \\\ hline \\\ text {Ahora podemos escribir} \ sin x = \ dfrac {\ tan x} {\ sec x} \ \\ text {and} \ cos x = \ dfrac {1} {\ sec x} \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {dx} {\ frac {9 \ tan ^ 2x} {\ sec ^ 2x } + \ frac {16} {\ sec ^ 2x} + \ frac {24 \ tan x} {\ sec ^ 2x}} \, \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2x} {9 \ tan ^ 2x + 16 + 24 \ tan x} \, dx \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2x} {(3 \ tan x + 4) ^ 2} \, dx \\\ hline \\\ text { Ahora sustituiré} \ tan x = t \\\ implica \ sec ^ 2xdx = dt \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {1} {(3t + 4) ^ 2} \, dt \\ \ hline \ text {Ahora dejemos} 3t + 4 = y \\\ implica 3dt = dy \\\ implica dt = \ dfrac {dy} {3} \\\ hline \\ & = \ dfrac {1} {3} \ int \ dfrac {1} {y ^ 2} \, dy \\ & = – \ dfrac {1} {3y} + C \\ & = – \ dfrac {1} {3 (3t + 4)} + C \\ & = – \ dfrac {1} {3 (3 \ tan x + 4)} + C \\ & = \ boxed {- \ dfrac {1} {9 \ tan x + 12} + C} \ end { split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Voilà !!

Answer 3

Multiplica con sec ^ 2x tanto en numerador como en denominador

Sec ^ 2x dx / (3 tanx +4) ^ 2

Poner 3 tanx +4 = z

3 segundos ^ 2x dx = dz

sec ^ 2x dx = dz / 3

Después de sustituir los valores de tanx

Nuestra pregunta seria

Integración de

dz / 3z ^ 2

= 1/3 (z) ^ – 1 + C

Poniendo z = 3tan x +4

1/3 (3 bronceado +4) ^ – 1 + C

Answer 4

Answer 5

método ③

I = 1 / 25∫sec² (x-arctan3 / 4) dx = (1/25) tan (x-arctan3 / 4) + C

Answer 6

Al dividir el numerador y el denominador entre cos ^ 2x y luego hacer un cuadrado entero en el denominador de (3tanx + 4).