Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ arcsin ^ 2 (x) \, dx [/ math]
Suponga que [math] \ displaystyle \ arcsin (x) = y [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = \ sin (y) [/ matemáticas]
[math] \ displaystyle \ implica dx = \ cos (y) \, dy [/ math]
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La sustitución de los valores anteriores en [matemáticas] I [/ matemáticas], nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int y ^ 2 \ cos (y) \, dy [/ math]
Vamos a resolver [matemáticas] I [/ matemáticas] aplicando la técnica de integración por partes,
Suponga que [math] \ displaystyle u = y ^ 2 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica du = 2y \, dy [/ matemáticas]
y [math] \ displaystyle dv = \ cos (y) \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica v = \ int \ cos (y) \, dy = \ sin (y) [/ math]
Como, [matemáticas] \ displaystyle \ int u \, dv = uv – \ int v \, du [/ math]
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle I = y ^ 2 \ sin (y) – \ underbrace {\ int 2y \ sin (y) \, dy} _ {I_1} [/ math]
La aplicación de la técnica de integración por partes en [matemáticas] I_1 [/ matemáticas], nos da,
[matemáticas] \ displaystyle I = y ^ 2 \ sin (y) + 2y \ cos (y) – \ int 2 \ cos (y) \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = y ^ 2 \ sin (y) + 2y \ cos (y) – 2 \ sin (y) [/ matemáticas]
Como [math] \ displaystyle x = \ sin (y) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica 1 – x ^ 2 = 1 – \ sin ^ 2 (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica 1 – x ^ 2 = \ cos ^ 2 (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sqrt {1 – x ^ 2} = \ cos (y) [/ matemáticas]
Sustitución de [matemáticas] y [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] I [/ matemáticas], obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ bbox [#AFA] {I = x \ arcsin ^ 2 (x) + 2 \ sqrt {1 – x ^ 2} \ arcsin (x \ cos (y) – 2x + C} [/ math ] (donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es la constante de integración indefinida)