¿Cuál es la respuesta a: [matemáticas] \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} [/ matemáticas]?

Answer 1

Usa la identidad.

[matemáticas] (a + b) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

Sustituya [math] a = \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} [/ math] y [math] b = \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} [/ math]. Considere el valor general de la expresión como [math] x. [/ Math]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ {3} = 7+ \ sqrt {50} + 7- \ sqrt {50} +3 ((7+ \ sqrt {50}) (7- \ sqrt {50})) ^ { \ dfrac {1} {3}} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ {3} = 14 + 3 (-1) ^ {\ dfrac {1} {3}} x [/ matemáticas]

Tomando solo raíces cúbicas reales de [matemáticas] -1. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ {3} + 3x – 14 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto (x-2) (x ^ {2} + 2x + 7) = 0. [/ matemáticas]

La única solución real posible como puede ver es [matemáticas] x = 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} = 2. [/ matemáticas]

Si está buscando soluciones complejas, [math] x = -1+ \ sqrt {6} i [/ math] o [math] x = -1- \ sqrt {6} i. [/matemáticas]

Answer 2

Gracias por el A2A!

Deje [math] x = \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} [/ math]. Cubo a ambos lados:

[matemáticas] x ^ 3 = 7 + \ sqrt {50} -3 \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} – 3 \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} + 7- \ sqrt {50} \ tag * {} [/ math]

Simplificando:

[matemáticas] x ^ 3 = 14-3 (\ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}}) \ tag * {} [/ matemáticas]

Sustituyendo de nuevo en la definición original de [math] x [/ math]:

[matemáticas] x ^ 3 = 14-3x \ Longleftrightarrow x ^ 3 + 3x-14 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usando el teorema de la raíz racional, si [math] a [/ math] es una raíz racional, entonces:

[matemáticas] a \ in \ {- 14 \, -7, \, -2, \, -1, \, 1, \, 2, \, 7, \, 14 \} [/ matemáticas]

Al probar esto, vemos que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. Si desea soluciones complejas, factorice [math] x-2 [/ math] a partir del cúbico.

Answer 3

Tenga paciencia, prometo no usar álgebra más alta que la factorización polinómica:

[matemáticas] x = \ sqrt [3] {7 + \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7 – \ sqrt {50}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = (7 + \ sqrt {50}) + (7 – \ sqrt {50}) + 3 (\ sqrt [3] {7 + \ sqrt {50}}) (\ sqrt [3] {7 – \ sqrt {50}}) x [/ math]

[matemáticas] x ^ 3 = 14 + 3 (\ sqrt [3] {7 ^ 2 – \ sqrt {50} ^ 2}) x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = 14 – 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 3x – 14 = 0 [/ matemáticas]

Que se puede factorizar en [1]

[matemáticas] (x – 2) (x ^ 2 + 2x + 7) = 0 [/ matemáticas]

Dando la única raíz real [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

---

Notas:

La solución se basó en que [math] x [/ math] se escribió como [math] a + b [/ math], un binomio, lo que nos permite utilizar resultados combinatorios

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas]

Y de ese reordenamiento a

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (x) [/ matemáticas]

Además, factorizar que cúbico no era necesario. Usando el teorema de la raíz racional podríamos haberlo resuelto sin ese paso, ya que produce una cantidad muy limitada de posibles soluciones racionales para probar. Sin embargo, proceder hasta el final nos aseguró de que no había soluciones irracionales reales.

Notas al pie

[1] Teorema de la raíz racional – Wikipedia

Answer 4

[matemáticas] (1+ \ sqrt {2}) ^ 3 = 7 + 5 \ sqrt {2} = 7 + \ sqrt {50} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1- \ sqrt {2}) ^ 3 = 7- \ sqrt {50} [/ matemáticas]

entonces, el resultado es [matemáticas] 1+ \ sqrt {2} + 1- \ sqrt {2} = 2 [/ matemáticas]

Answer 5

(1 + sqrt (2)) ^ 3 es 7 + 5sqrt (2) = 7 + sqrt (50). Por lo tanto, el primer término es 1 + sqrt (2). Del mismo modo, el segundo término es 1-sqrt (2) y la respuesta total es 2

Answer 6

a = 7 + √50

b = 7 – √50

a + b = 14

ab = 49–50 = -1

let x = a ^ (1/3) + b ^ (1/3)

(ab) ^ (1/3) = – 1

(a ^ (1/3) + b ^ (1/3)) ³ = a + b + 3a ^ (1/3) b ^ (1/3) (a ^ (1/3) + b ^ (1 / 3))

x³ = 14 + 3 (-1) x

x³ + 3x-14 = 0

(x-2) (x² + 2x + 7) = 0

solución real de x≈2

∴³√ (7 + √50) + ³√ (7 – √50) = 2

Answer 7

Tengo que notar un punto ausente en las otras respuestas: las expresiones no tienen respuestas; Las ecuaciones y las desigualdades tienen respuestas. La expresión puede simplificarse , pero no resolverse .