Supongo que lo que está buscando es una función del límite superior de la integral. Así que aquí está tu respuesta:
[matemáticas] \ boxed {\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ x ^ 2 = \ displaystyle \ int_0 ^ x 2t \ dt} [/ math]
De hecho, la derivada de [matemática] t [/ matemática] [matemática] \ longmapsto t [/ matemática] [matemática] ^ 2 [/ matemática] es [matemática] t [/ matemática] [matemática] \ longmapsto [/ matemática] [math] 2t [/ math] así que al integrar la derivada entre cero y [math] x [/ math], ¡recuperas tu función inicial! (Por lo general, dentro de una constante aditiva, pero aquí [matemática] 0 ^ 2 = 0 [/ matemática]).
En términos más generales, para definir [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] como una integral, si [matemáticas] f [/ matemáticas] tiene una derivada integrable, entonces:
- Cómo integrar [matemáticas] \ dfrac {1} {(3 \ sen x + 4 \ cos x) ^ 2} [/ matemáticas]
- Cómo integrar (sin ^ -1x) ^ 2
- ¿Cuál es la respuesta a: [matemáticas] \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} + \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} [/ matemáticas]?
- ¿Cómo simplificar [math] \ dfrac {du} {dx} \ times {dx} [/ math]? ¿Es [matemáticas] du [/ matemáticas]? Si es así, ¿por qué?
- ¿Puedo vivir en Londres con 1.300 libras por mes? ¿Te gusta el perfil bajo, pero aún con una habitación en la zona 2?
[matemáticas] \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ f (x) – f (0) = \ displaystyle \ int_0 ^ x \ frac {df (t)} {dt} \ dt [/ math]
Aún más generalmente, en realidad es el orden cero de la fórmula de Taylor-Lagrange entre [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas]:
[matemáticas] f (x) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!} \ frac {d ^ kf (0)} {dx ^ k} + \ displaystyle \ int_0 ^ x \ frac {x ^ n} {n!} \ frac {d ^ {n + 1} f (t)} {dt ^ {n + 1}} [/ math]
Válido para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] siempre que [math] f [/ math] tenga una derivada integrable [math] (n + 1) [/ math] th.