Si [math] w [/ math] es la quinta raíz de la unidad, ¿qué es [math] (1 + w) (1 + w ^ 2) (1 + w ^ 3) [/ math]?

Hay cinco quintas raíces de la unidad, todas las soluciones para

[matemáticas] z ^ 5 = 1 [/ matemáticas]

Estos se encuentran fácilmente en coordenadas polares. Como [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para el entero [math] k [/ math], tenemos:

[matemáticas] z ^ 5 = e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = e ^ {2 \ pi ki / 5} = \ cos (2 \ pi k / 5) + i \ sin (2 \ pi k / 5) [/ matemáticas]

Son cinco valores únicos, igualmente espaciados en el círculo unitario, los vértices de un pentágono regular.

Podemos obtener las quintas raíces de la unidad en coordenadas rectangulares. Las funciones trigonométricas son todas las multiplicaciones de una quinta parte de un círculo. Ellos satisfacen

[matemáticas] \ cos (2a) = \ cos (3a) [/ matemáticas]

Deje [math] x = \ cos (a) [/ math]. A partir de las fórmulas de ángulo doble y triple esto se convierte

[matemáticas] 2 x ^ 2 – 1 = 4 x ^ 3 – 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] 4x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Sabemos que [math] x = \ cos 0 = 1 [/ math] debe ser una raíz, por lo que factorizamos:

[matemáticas] (x-1) (4x ^ 2 + 2x -1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac 1 4 (-1 \ pm \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

Vamos a obtener [matemáticas] \ cos (2 \ pi / 5) = \ cos 72 ^ \ circ. [/ Matemáticas] Está en el primer cuadrante, por lo que debe ser

[matemáticas] \ cos (2 \ pi / 5) = \ frac 1 4 (\ sqrt {5} -1) [/ matemáticas]

El seno no es tan bonito.

[matemáticas] \ sin (2 \ pi / 5) = \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 (2 \ pi / 5)} = \ sqrt {\ frac 1 8 (5 + \ sqrt {5})} [/ matemáticas]

Así que encontramos nuestra primera quinta raíz de la unidad, la denotaremos [math] \ omega_5 ^ 1. [/ Math]

[matemáticas] \ omega_5 ^ 1 = \ frac 1 4 (-1 + \ sqrt {5}) + i \ sqrt {\ frac 1 8 (5 + \ sqrt {5})} [/ matemáticas]

Las quintas raíces restantes son solo los poderes de estos. Es feo pero solo necesitamos el cuadrado; el resto son pares conjugados de los que tenemos. (Si fuéramos más inteligentes pensaríamos en la otra raíz de nuestra cuadrática).

[matemáticas] \ omega_5 ^ 2 = \ frac 1 {8} (3 – \ sqrt {5}) – \ frac 1 8 (5 + \ sqrt {5}) + i (\ frac 1 2 (-1+ \ sqrt {5}) \ sqrt {\ frac 1 8 (5 + \ sqrt {5})} [/ math]

[matemáticas] \ omega_5 ^ 2 = – \ frac 1 4 (1 + \ sqrt {5}) + i \ sqrt {\ frac {1} {32} (-1+ \ sqrt 5) ^ 2 (5+ \ sqrt 5)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega_5 ^ 2 = – \ frac 1 4 (1 + \ sqrt {5}) + i \ sqrt {\ frac 1 8 (5 – \ sqrt 5)} [/ matemáticas]

Las partes real e imaginaria son el coseno y el seno de [matemáticas] 144 ^ \ circ [/ matemáticas] respectivamente.

Hemos terminado; los restantes son conjugados:

[matemáticas] \ omega_5 ^ 3 = – \ frac 1 4 (1 + \ sqrt {5}) – i \ sqrt {\ frac 1 8 (5 – \ sqrt 5)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega_5 ^ 4 = \ frac 1 4 (-1 + \ sqrt {5}) – i \ sqrt {\ frac 1 8 (5 + \ sqrt {5})} [/ matemáticas]

y por supuesto

[matemáticas] \ omega_5 ^ 5 = 1 [/ matemáticas]

Uf. Bien, tenemos todas nuestras quintas raíces de unidad en coordenadas rectangulares.


Ahora se nos pide evaluar

[matemáticas] f (w) = (1 + w) (1 + w ^ 2) (1 + w ^ 3) [/ matemáticas]

donde [math] w ^ 5 = 1. [/ math] Tenemos potencialmente cinco valores diferentes para [math] f (w) [/ math] porque [math] w [/ math] tiene cinco valores diferentes. Claramente [matemáticas] f (1) = 8. [/ Matemáticas]

[matemáticas] f (w) = (1 + w + w ^ 2 + w ^ 3) (1 + w ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (w) = w ^ 6 + w ^ 5 + w ^ 4 + 2 w ^ 3 + w ^ 2 + w + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (w) = (w ^ 4 + w ^ 3 + w ^ 2 + w + 1) + (w ^ 6 + w ^ 5 + w ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (w) = (w ^ 4 + w ^ 3 + w ^ 2 + w + 1) + (w ^ 3 + w + 1) [/ matemáticas]

Excepto [math] w = 1 [/ math], la serie geométrica en los primeros paréntesis es cero porque es igual a [math] \ dfrac {1-w ^ 5} {1-w} [/ math] y el numerador es cero .

[matemáticas] f (w) = w ^ 3 + w + 1 [/ matemáticas]

Tendríamos que resolver eso para los poderes de [math] \ omega_5. [/ Math] El tercero y el cuarto serán conjugados del segundo y el primero. Tengo que ir a hacer mi trabajo real, así que lo dejaré para otros.