En x sqrt (x) + sqrt (x) + x + 1 = 0, ¿cómo puedo resolver para x?

Answer 1

En x sqrt (x) + sqrt (x) + x – 1 = 0, ¿cómo puedo resolver para x?

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Nota: estoy respondiendo la pregunta anterior. Esta pregunta fue posteriormente editada, cambiando su significado.

¿Qué hace que esta ecuación sea desagradable? Bueno, las raíces cuadradas lo hacen, ya que son difíciles de trabajar. ¿Entonces, qué debemos hacer? ¡Intenta eliminarlos cuadrando! Primero intentamos aislar la raíz cuadrada. Tenemos [math] \ sqrt {x} (x + 1) = 1-x [/ math]. Ahora, podemos cuadrar la ecuación y la raíz cuadrada desaparecerá. La cuadratura da [matemáticas] x (x + 1) ^ 2 = (1-x) ^ 2 [/ matemáticas] y la expansión da [matemáticas] x (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 – 2x + 1 \ implica x ^ 3 + 2x ^ 2 + x = x ^ 2 – 2x + 1 [/ matemáticas]. Simplificar da [matemáticas] x ^ 3 + x ^ 2 + 3x – 1 = 0 [/ matemáticas]. Lamentablemente, la aplicación del teorema de la raíz racional nos da que la ecuación no tiene raíces racionales. ¿Entonces, qué debemos hacer? Realmente no hay nada especial sobre este cúbico, por lo que es posible que desee utilizar la fórmula cúbica. Sin embargo, si no desea usar algo tan tonto como eso, puede usar el método de Cardano, que es un método para resolver cúbicos (use este enlace: Método de Cardano | Wiki Brillante de Matemáticas y Ciencias).

Answer 2

Gracias por el A2A!

Primero, reescríbalo como:

[matemáticas] \ sqrt {x} (x + 1) + x-1 = 0 [/ matemáticas]

Por otra parte, como:

[matemáticas] \ sqrt {x} (x + 1) = 1-x [/ matemáticas]

Hicimos esto para poder cuadrar para eliminar la raíz cuadrada. Cuadrando ambos lados:

[matemáticas] x (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2-2x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 2x ^ 2 + x = x ^ 2-2x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ 2 + x = 1-2x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ 2 + 3x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ 2 + 3x-1 = 0 [/ matemáticas]

Lamentablemente, esto no tiene raíces racionales (del teorema de la raíz racional). Puede usar la fórmula cúbica, o cualquier otro método para resolver el cúbico, pero la raíz real es sobre [matemáticas] x = 0.2956 [/ matemáticas]

Answer 3

Deje z = sqrt (x). Luego tienes un polinomio de tercer grado en z, y puedes usar la fórmula para las raíces de una ecuación de tercer grado para resolverlo (ver Wikipedia, por ejemplo).