Si [matemática] x ^ 2-3x + 1 = 0 [/ matemática] entonces, ¿cómo puedo encontrar el valor de [matemática] x ^ 9 + x ^ 7 + \ dfrac {1} {x ^ 9} + \ dfrac {1 } {x ^ 7} [/ matemáticas]?
Observe que [matemáticas] x ^ 2–3x + 1 [/ matemáticas] es un polinomio palindrómico, lo que significa que sus coeficientes se leen hacia adelante y hacia atrás: [matemáticas] 1, -3, 1. [/ matemáticas] Esto significa sus dos raíces son recíprocos entre sí, por lo que [math] x + \ dfrac {1} {x} [/ math] tiene un valor único, que es la suma de las dos raíces. Para ver que esto es cierto y para encontrar esta suma, divida [matemática] x ^ 2-3x + 1 = 0 [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática], lo cual es perfectamente legal, ya que [matemática] x = 0 [/ math] no es una raíz, para obtener [math] \ boxed {x + \ dfrac {1} {x} = 3} \ quad [/ math] pongo un recuadro alrededor de ese resultado para que sea más fácil encontrar, porque lo usaremos más tarde.
Ahora, encontremos el valor de [math] x ^ n + \ dfrac {1} {x ^ n} [/ math] para [math] n = 3, 5, 7, 9 [/ math], con cada resultado acumulado en los anteriores, que finalmente nos llevan a la respuesta a la pregunta original.
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (x + \ frac {1} {x}) ^ 3 = 3 ^ 3 & = x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} + 3 (x + \ frac {1} {x}) \\ & = x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} + 3 * 3 \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ Longrightarrow \ boxed {x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 18} [/ math]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (x + \ frac {1} {x}) ^ 5 = 3 ^ 5 & = x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} + 5 (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3}) + 10 (x + \ frac {1} {x}) \\ & = x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} + 5 * 18 + 10 * 3 \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ Longrightarrow \ boxed {x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 123} [/ math]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (x + \ frac {1} {x}) ^ 7 = 3 ^ 7 & = x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} + 7 (x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5}) + 21 (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3}) + 35 (x + \ frac {1} {x}) \\ & = x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} + 7 * 123 + 21 * 18 + 35 * 3 \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ Longrightarrow \ boxed {x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} = 843} [/ math]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (x + \ frac {1} {x}) ^ 9 = 3 ^ 9 & = x ^ 9 + \ frac {1} {x ^ 9} + 9 (x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7}) + 36 (x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5}) + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 84 (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3}) + 126 (x + \ frac {1} {x}) \\ & = x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} + 9 * 843 + 36 * 123 + 84 * 18 + 126 * 3 \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]
[matemáticas] \ qquad \ Longrightarrow \ boxed {x ^ 9 + \ frac {1} {x ^ 9} = 5778} [/ math]
Ahora, teniendo los valores de [matemáticas] x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} = 843 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 9 + \ frac {1} {x ^ 9} = 5778 [ / matemáticas], finalmente podemos responder la pregunta!
[matemáticas] \ boxed {x ^ 7 + \ frac {1} {x ^ 7} + x ^ 9 + \ frac {1} {x ^ 9} = 843 + 5778 = \ boxed {6621}} [/ math] .
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
Conexión a los números de Lucas
Es interesante notar que los coeficientes que descubrí en el camino son una bisección de una bisección ( es decir, cada cuarto) de los Números de Lucas. Si [matemática] x + \ frac 1 x = 3 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ n + \ frac {1} {x ^ n} = L_ {2n}, [/ matemática] la [matemática] 2n ^ \ text {th} [/ math] Número de Lucas.