En una ecuación cuadrática estándar [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas], ¿cuál es el significado de [matemáticas] b [/ matemáticas]?

Answer 1

Puede observar un comportamiento interesante si usa una utilidad de gráficos (Me gusta Desmos | Beautiful, Free Math) para trazar algo como [matemática] y = 3x ^ 2 + bx + 4 [/ matemática] y luego usa un control deslizante para dejar que [ matemática] b [/ matemática] varía entre digamos -10 y 10. Verá que la parábola se desliza rígidamente alrededor del plano, y si observa el movimiento del vértice, debe encontrar la trayectoria que sigue para que sea una forma familiar . De hecho, es otra parábola, estrechamente relacionada con la original, a saber, [matemáticas] y = -3x ^ 2 + 4 [/ matemáticas]. Cuando [math] b = 0 [/ math], obtenemos [math] y = 3x ^ 2 + 4 [/ math], que es un reflejo de [math] y = -3x ^ 2 + 4 [/ math] La línea horizontal tangente a su vértice. Cuando [math] b> 0 [/ math], el vértice de la parábola resultante se desplaza hacia la izquierda a lo largo de la curva de [math] y = -3x ^ 2 + 4 [/ math], y viceversa.

Answer 2

[matemática] b [/ matemática] es la pendiente de la gráfica de la parábola en la intersección [matemática] y [/ matemática].

Para ver esto, solo observe que la derivada de [math] ax ^ 2 + bx + c [/ math] es [math] 2ax + b [/ math]. Cuando [math] x = 0 [/ math], esto es simplemente [math] b [/ math].

Answer 3

Bueno, me gustaría comenzar aclarando una cosa: la concavidad no es una, sino que es 2a. Esto se deriva por cálculo, como es la definición de b.
b es la pendiente de la recta tangente a ax ^ 2 + bx + c en x = 0 (la intersección en y). Esto puede ser muy insatisfactorio si no conoce el cálculo, pero le aseguro que es útil e interesante.

Answer 4

[matemáticas] b [/ matemáticas] es la pendiente de la línea tangente en la intersección con el eje y. Ese es su significado más directo, que no involucra las otras variables.

Hablando cualitativamente, [math] b [/ math] también mide la “asimetría” del gráfico, la medida en que se desplaza hacia un lado. Esto se debe a que el término lineal es el único término que cambia cuando [math] x \ rightarrow (-x) [/ math] (los términos cuadráticos y de orden cero conservan su signo, pero el término lineal cambia de signo).

La versión cuantitativa de esto es que básicamente mide la [matemática] x [/ matemática] -coordinada del vértice de la parábola, que es [matemática] \ frac {-b} {2a} [/ matemática] (el promedio de Las dos raíces).