¡Oye! ¡Acabo de ver una excelente visualización de esto en YouTube hoy! ¿Cuáles son las probabilidades?
Digamos que tengo un vector [matemáticas] V [/ matemáticas] y quiero describirlo en algún sistema de coordenadas. En lugar de los vectores de base habituales [math] \ hat {x} [/ math] y [math] \ hat {y} [/ math], usaré [math] e_1 [/ math] y [math] e_2 [ / matemáticas] para ser más general. (Estoy haciendo dos dimensiones porque esa es la cantidad que puedo dibujar fácilmente, pero esta explicación funcionará para las dimensiones [matemáticas] N [/ matemáticas]).
Escribiré los componentes de [matemática] V [/ matemática] para cada vector base como [matemática] V ^ 1 [/ matemática] y [matemática] V ^ 2 [/ matemática] (estos no son exponentes sino índices).
Así como un vector en las coordenadas x e y es [matemática] r = x \, \ hat {x} + y \, \ hat {y} [/ math], [math] V [/ math] puede escribirse
- En una ecuación cuadrática estándar [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas], ¿cuál es el significado de [matemáticas] b [/ matemáticas]?
- ¿Cuántos valores integrales negativos de x satisfacen la ecuación [x / 5] = [x / 7], donde [] es GIF?
- ¿Puedes explicar con expresiones y ecuaciones matemáticas qué es una supertask?
- ¿Cómo identificarías una ecuación compleja de un conjunto de datos dado?
- ¿Por qué los gráficos cuadráticos son siempre simétricos?
[matemáticas] V = V ^ 1e_1 + V ^ 2e_2 [/ matemáticas].
Podemos acortar nuestra combinación lineal de vectores de base para describir [matemáticas] V [/ matemáticas] mediante la introducción de una nueva notación. Se usará una letra como [math] m [/ math] o [math] n [/ math] en lugar de un índice donde la letra podría ser 1 o 2 o 3 hasta [math] N [/ math ]
[matemática] V = \ displaystyle \ sum \ limits_m V ^ me_m [/ math]
[math] m [/ math] se suma de uno a [math] N [/ math], en nuestro caso solo dos.
Una notación más es la Convención de suma de Einstein, donde cada vez que ve un índice de arriba con uno de abajo que coincide, los suma automáticamente. [matemáticas] V [/ matemáticas] ahora se puede escribir fácilmente como
[matemáticas] V = V ^ me_m [/ matemáticas].
Los componentes de [math] V [/ math] que se multiplican por los vectores base con un índice de arriba, [math] V ^ m [/ math] (donde [math] m [/ math] puede ser cualquier número entero entre 1 y [matemática] N [/ matemática]), se denominan componentes de vector contravariante o simplemente vectores contravariantes .
Sin embargo, hay otra forma de descomponer [matemáticas] V [/ matemáticas]. Si tomo el producto punto de [math] V [/ math] con un vector base [math] e_n [/ math], entonces puedo encontrar la proyección de [math] V [/ math] a lo largo de cada eje.
[matemáticas] V \ cdot e_n [/ matemáticas]
Debido a que este objeto tiene un índice más bajo en general, se escribe [math] V_n [/ math] y se llama componente de vector covariante o vector covariante .
[matemáticas] V_n = V \ cdot e_n [/ matemáticas].
Sabemos [matemática] V = V ^ me_m [/ matemática] para que podamos conectar eso a la ecuación anterior.
[matemáticas] V_n = V ^ m \ big (e_m \ cdot e_n \ big) [/ math]
[math] e_m \ cdot e_n [/ math] es algo llamado tensor métrico y básicamente le permite cambiar de índices superiores a inferiores y viceversa. Generalmente se le da el símbolo [math] g_ {mn} [/ math].
[matemáticas] V_n = V ^ mg_ {mn} [/ matemáticas]
En nuestros sistemas de coordenadas xyz que todos conocemos y amamos, [matemáticas] g_ {mn} = 1 [/ matemáticas] si [matemáticas] m = n [/ matemáticas] y cero en caso contrario. ¡En buenas coordenadas cartesianas, los vectores covariantes y contravariantes tienen el mismo valor !
También podemos elevar índices usando el tensor métrico inverso [math] g ^ {mn}: [/ math]
[matemáticas] V ^ n = V_mg ^ {mn} [/ matemáticas]
Puedo combinar dos vectores que son contravariantes, digamos [math] A ^ m [/ math] y [math] B ^ n [/ math] para crear un nuevo objeto.
[matemáticas] A ^ mB ^ n = T ^ {mn} [/ matemáticas]
[math] T ^ {mn} [/ math] se llama Tensor de rango 2 (dos índices) y [math] A ^ m [/ math] y [math] B ^ n [/ math] son tensores de rango 1. Puede o no ser obvio para usted que si estoy en [matemáticas] N [/ matemáticas] dimensiones, [matemáticas] T ^ {mn} [/ matemáticas] tiene [matemáticas] N ^ 2 [/ matemáticas] componentes.
También puedo combinar [matemáticas] A ^ m [/ matemáticas] y [matemáticas] B_n [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] T ^ m _ {\, \, \, n} [/ matemáticas], [matemáticas] A_m [ / matemática] y [matemática] B ^ n [/ matemática] para [matemática] T_m ^ {\, \, \, n} [/ matemática], o [matemática] A_m [/ matemática] y [matemática] B_n [/ matemáticas] para [matemáticas] T_ {mn} [/ matemáticas].
Dado que los índices [math] A [/ math] y [math] B [/ math] se suben o bajan mediante una aplicación del tensor métrico, para subir y bajar los índices [math] T [/ math] se requiere dos aplicaciones de la métrica, una para cada índice.
[matemáticas] T ^ {mn} = T_ {jk} g ^ {jm} g ^ {kn} [/ matemáticas]
[matemáticas] T_ {mn} = T ^ {jk} g_ {jm} g_ {kn} [/ matemáticas]
Los índices [matemática] j [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] que se están sumando a menudo se denominan índices ficticios. La regla general es que el número de índices de arriba y de abajo en ambos lados del signo igual tiene que coincidir y los índices ficticios no cuentan.
Aquí hay una excelente visualización de todo esto. Me encanta este video. ¡Disfrutar!