Deje que el cociente y el resto cuando [math] x [/ math] se divide por 5 sea [math] q_1 [/ math] y [math] r_1 [/ math]. Deje que estos sean [matemática] q_2 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática]. [math] q_1, q_2, r_1, r_2 [/ math] son enteros y [math] 0 \ leq r_1 <5, 0 \ leq r_2 <7 [/ math].
Entonces,
[matemáticas] x = 5q_1 + r_1 [/ matemáticas]
y
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[matemáticas] x = 7q_2 + r_2 [/ matemáticas]
Ahora
[matemáticas] [x / 5] = [x / 7] \ implica q_1 = q_2 \ implica 5q_1 + r_1 = 7q_1 + r_2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2q_1 = r_1-r_2 \; \; \; \ ldots \; \; \; (1) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] -6 \ leq r_1-r_2 \ leq 4 [/ math].
Por lo tanto, [math] -6 \ leq 2q_1 \ leq 4 [/ math]. Esto implica, [math] -3 \ leq q_1 \ leq 2. [/ Math]
Los valores de [math] q_1 [/ math] son [math] -3, -2, -1,0,1,2 [/ math].
Los valores correspondientes de [math] r_1-r_2 [/ math] de (1) son [math] -6, -4, -2,0,2,4 [/ math].
Enumero los valores de [matemáticas] q_1, r_1, r_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] a continuación.
[matemáticas] q_1 = -3, [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 0, r_2 = 6, x = -15 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_1 = -2, [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 0, r_2 = 4, x = -10 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 1, r_2 = 5, x = -9 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 2, r_2 = 6, x = -8 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 0, r_2 = 2, x = -5 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 1, r_2 = 2, x = -4 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_1 = -1, [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 2, r_2 = 3, x = -3 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 3, r_2 = 5, x = -2 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 4, r_2 = 6, x = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_1 = 0, [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 0, r_2 = 0, x = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 1, r_2 = 1, x = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 2, r_2 = 2, x = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 3, r_2 = 0, x = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 4, r_3 = 4, x = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_1 = 1, [/ matemáticas]
[matemáticas] r1 = 2, r_2 = 0, x = 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] r1 = 3, r_2 = 1, x = 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] r1 = 4, r_2 = 2, x = 9 [/ matemáticas]
[matemáticas] q_1 = 2, [/ matemáticas]
[matemáticas] r_1 = 4, r_2 = 0, x = 14. [/ matemáticas]
Claramente, [matemáticas] x = -1, -2, \ ldots, -10 [/ matemáticas] son las soluciones negativas.