Hay varias formas de representar la ecuación de una cuadrática en el plano. La que probablemente vio primero es [matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas], conocida como la forma estándar. En términos de responder a su pregunta, esto realmente no funciona, por lo que cambiaremos a la forma de vértice … [matemática] y = a (x – h) ^ 2 + k [/ matemática]. Por ejemplo, puede tener la ecuación [matemáticas] y = (x – 3) ^ 2 + 4 [/ matemáticas] (por conveniencia y simplicidad, he hecho [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas], y yo ‘ Solo voy a discutir las funciones cuadráticas en esta respuesta; las cuadráticas que no son funciones también tienen el tipo de simetría que has observado).
Lo bueno de la forma de vértice es que puede identificar fácilmente la ubicación del vértice sin graficar: es el punto [matemático] (h, k) [/ matemático] o, en nuestro ejemplo, (3, 4). Considere lo que sucede en [matemáticas] y = (x – 3) ^ 2 + 4 [/ matemáticas] si [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas] (es decir, la coordenada x del vértice) … la parte de la ecuación entre paréntesis va a cero, y [matemáticas] 0 ^ 2 = 0 [/ matemáticas].
Movámonos hacia la derecha por una unidad, [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]. Nuestra ecuación de ejemplo se evalúa como [matemáticas] y = (4 – 3) ^ 2 + 4 = 1 ^ 2 + 4 = 1 + 4 = 5 [/ matemáticas].
Ahora, considere [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], o una unidad hacia la izquierda del vértice. La ecuación de ejemplo es [matemáticas] y = (2 – 3) ^ 2 + 4 = (-1) ^ 2 + 4 = 1 + 4 = 5 [/ matemáticas]. ¡El mismo valor y que antes!
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Intente nuevamente con el par [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas]. En ambos casos, y = 8.
¿Entonces que esta pasando? Al cuadrar [matemática] (x – h) [/ matemática], el efecto es similar * a tomar el valor absoluto de la cantidad, ya que los valores de evaluación de x que están a la misma distancia de h producirán el mismo resultado. En la gráfica de un cuadrático, lo que sea que esté sucediendo m unidades a la izquierda del vértice, lo mismo debe estar sucediendo m unidades a la derecha del vértice. Por lo tanto, simetría!