¿Cuál es la ecuación de una línea que pasa por el punto (1,2), cuya distancia desde el punto (3,1) es 5 ^ 1/2?

Sea la ecuación de be [math] l: \, [/ math] [math] y = mx + c [/ math]

La línea [matemáticas] l [/ matemáticas] pasa por el punto [matemáticas] (1,2) [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto 2 = m + c \ implica c = 2-m [/ matemática]

Además, la distancia de la línea [matemática] l [/ matemática] desde el punto [matemática] (3,1) [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {5} [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ frac {| 3m-1 + c |} {\ sqrt {1 ^ 2 + m ^ 2}} = \ sqrt {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ frac {| 3m-1 + 2-m |} {\ sqrt {1 ^ 2 + m ^ 2}} = \ sqrt {5} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica | 2m + 1 | = \ sqrt {5 \ veces (1 + m ^ 2)} [/ matemática]

Cuadrando ambos lados

[matemática] 4m ^ 2 + 4m + 1 = 5 + 5m ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica m ^ 2-4m + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (m-2) ^ 2 = 0 \ implica m = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto l: y = 2x [/ matemáticas]