¿Qué es una ecuación de continuidad?

La ecuación de continuidad en física es una ecuación que describe el transporte de cierta cantidad. Es particularmente simple y poderoso cuando se aplica a una cantidad conservada, pero se puede generalizar para aplicar a cualquier cantidad extensa. Dado que la masa, la energía, el momento, la carga eléctrica y otras cantidades naturales se conservan en sus respectivas condiciones apropiadas, se puede describir una variedad de fenómenos físicos utilizando ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad son una forma local más fuerte de leyes de conservación. Por ejemplo, una versión débil de la ley de conservación de la energía establece que la energía no se puede crear ni destruir, es decir, la cantidad total de energía es fija.

Let, la densidad de flujo (fluido, flujo eléctrico, etc.) ρ (x, y, z, t) se mueve con la velocidad v (x, y, z, t). No hay fuente ni sumidero.

La tasa de cambio de densidad en el volumen de control

La velocidad de flujo que cruza la superficie diferencial dS viene dada por la ecuación

Este término es positivo cuando la masa abandona el volumen de control y negativo cuando la masa ingresa. El signo es controlado por el producto punto entre la velocidad y la unidad exterior del vector normal de ds. El total que cruza la superficie se obtiene integrando este término sobre la superficie del volumen de control

Ya que no hay fuente o sumidero así

Según el teorema de divergencia de Gauss,

Por lo tanto,

Para más consulta:

Ecuación de continuidad – Wikipedia

La ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad y la divergencia

Ecuación de continuidad

Ecuaciones vigentes en microfluídica

Ecuación de continuidad

Uno de los principios fundamentales utilizados en el análisis del flujo uniforme se conoce como Continuidad del flujo. Este principio se deriva del hecho de que la masa siempre se conserva en los sistemas de fluidos, independientemente de la complejidad de la tubería o la dirección del flujo.

Si existe un flujo constante en un canal y el principio de conservación de la masa se aplica al sistema, existe una continuidad de flujo, definida como: “Las velocidades medias en todas las secciones transversales que tienen áreas iguales son iguales, y si las áreas son no es igual, las velocidades son inversamente proporcionales a las áreas de las secciones transversales respectivas “. Por lo tanto, si el flujo es constante en un alcance de canal, el producto del área y la velocidad serán los mismos para cualquiera de las dos secciones transversales dentro de ese alcance. Mirar las unidades del producto de área (pies cuadrados) y velocidad (fps) conduce a la definición de caudal (cfs). Esto se expresa en la ecuación de continuidad:

Dónde:

Q = el caudal volumétrico

A = el área de flujo de la sección transversal

V = la velocidad media

El cálculo del caudal a menudo se complica por la interdependencia entre el caudal y la pérdida por fricción. Cada uno afecta al otro y, a menudo, estos problemas deben resolverse de forma iterativa. Una vez que se conocen el flujo y la profundidad, la ecuación de continuidad se usa para calcular la velocidad en la alcantarilla.

Una ecuación de continuidad en física es una ecuación que describe el transporte de cierta cantidad. Es particularmente simple y poderoso cuando se aplica a una cantidad conservada, pero se puede generalizar para aplicar a una cantidad extensa. Dado que la masa, la energía, el momento, la carga eléctrica y otras cantidades naturales se conservan en sus respectivas condiciones apropiadas, se puede describir una variedad de fenómenos físicos utilizando ecuaciones de continuidad.

Las ecuaciones de continuidad son una forma local más fuerte de leyes de conservación. Por ejemplo, una versión débil de la ley de conservación de la energía establece que la energía no se puede crear ni destruir, es decir, la cantidad total de energía es fija. Esta declaración no descarta de inmediato la posibilidad de que la energía pueda desaparecer de un campo en Canadá mientras aparece simultáneamente en una habitación en Indonesia. Una afirmación más fuerte es que la energía se conserva localmente : la energía no puede crearse ni destruirse, ni puede “teletransportarse” de un lugar a otro, solo puede moverse mediante un flujo continuo. Una ecuación de continuidad es la forma matemática de expresar este tipo de afirmación. Por ejemplo, la ecuación de continuidad para la carga eléctrica establece que la cantidad de carga eléctrica en cualquier punto solo puede cambiar por la cantidad de corriente eléctrica que fluye dentro o fuera de ese punto.

Las ecuaciones de continuidad más generalmente pueden incluir términos de “fuente” y “sumidero”, que les permiten describir cantidades que a menudo se conservan, pero no siempre, como la densidad de una especie molecular que puede ser creada o destruida por reacciones químicas. En un ejemplo cotidiano, hay una ecuación de continuidad para el número de personas vivas; tiene un “término fuente” para dar cuenta de las personas que nacen, y un “término hundido” para dar cuenta de las personas que mueren.

Cualquier ecuación de continuidad puede expresarse en una “forma integral” (en términos de una integral de flujo), que se aplica a cualquier región finita, o en una “forma diferencial” (en términos del operador de divergencia) que se aplica en un punto.

Las ecuaciones de continuidad subyacen a ecuaciones de transporte más específicas, como la ecuación de convección-difusión, la ecuación de transporte de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes.

Ecuación general

Definición de flujo

Artículo principal: Flux

Antes de poder escribir la ecuación de continuidad (a continuación), primero debemos definir el flujo , una cantidad que especifica el flujo o movimiento. (Tenga en cuenta que el concepto que denominamos “flujo” se denomina alternativamente “densidad de flujo” en alguna literatura, en cuyo contexto “flujo” denota la integral de la superficie de la densidad de flujo. Consulte el artículo principal sobre Flux para obtener más detalles).

La ecuación de continuidad es útil cuando hay una cantidad q que puede fluir o moverse, como masa, energía, carga eléctrica, momento, número de moléculas, etc. Sea ρ la densidad de volumen de esta propiedad, es decir, la cantidad de q por unidad de volumen.

La forma en que esta cantidad q fluye se describe por su flujo . El flujo de q es un campo vectorial, que denotamos como j . Aquí hay algunos ejemplos y propiedades de flujo:

  • La dimensión del flujo es “cantidad de q fluye por unidad de tiempo, a través de un área unitaria”. Por ejemplo, en la ecuación de continuidad de masa para el flujo de agua, si 1 gramo por segundo de agua fluye a través de una tubería con un área de sección transversal de 1 cm2, entonces el flujo de masa promedio j dentro de la tubería es (1 gramo / segundo) / cm2 , y su dirección es a lo largo de la tubería en la dirección en que fluye el agua. Fuera de la tubería, donde no hay agua, el flujo es cero.
  • Si hay un campo de velocidad u que describe el flujo relevante, en otras palabras, si toda la cantidad q en un punto x se mueve con la velocidad u ( x ), entonces el flujo es, por definición, igual a la densidad multiplicada por el campo de velocidad :

Por ejemplo, si en la ecuación de continuidad de masa para el flujo de agua, u es la velocidad del agua en cada punto, y ρ es la densidad del agua en cada punto, entonces j sería el flujo de masa.

  • En un ejemplo bien conocido, el flujo de carga eléctrica es la densidad de corriente eléctrica.

Ilustración de cómo el flujo j de una cantidad q pasa a través de una superficie abierta S. ( d S es el área del vector diferencial).

  • Si hay una superficie imaginaria S , entonces la integral de la superficie del flujo sobre S es igual a la cantidad de q que pasa a través de la superficie S por unidad de tiempo: