¿Cómo puedo resolver esta ecuación: x = x ^ 2 – x ^ 1/2?

Deje [math] y = x ^ {\ frac12} [/ math]. Entonces [matemáticas] y ^ 4 – y ^ 2 – y = 0 [/ matemáticas] es una ecuación de cuarto grado. Factoriza el lado izquierdo: [matemática] y (y ^ 3 – y – 1) = 0 [/ matemática]. Entonces [math] y = 0 [/ math] es la solución que lleva a [math] x = 0 [/ math]

Ahora intenta factorizar el cúbico. Debe tener la forma [math] (y-1) (y ^ 2 + ay + 1) [/ math] o [math] (y + 1) (y ^ 2 + ay – 1) [/ math]. En el primer caso [math] a = 1 [/ math] para obtener el término [math] 0y ^ 2 [/ math], pero eso daría un término [math] 0y [/ math] que es incorrecto. Del mismo modo, en el segundo caso [matemática] a = -1 [/ matemática] obtiene el término al cuadrado correcto pero da el coeficiente incorrecto para [matemática] y [/ matemática]. Por lo tanto, no hay soluciones enteras (o racionales).

En este punto, podría usar la fórmula para la solución de un cúbico. Pero eso es bastante desordenado. Si compara [matemática] y ^ 3 [/ matemática] y [matemática] y + 1 [/ matemática] encontrará que hay una raíz positiva y ninguna raíz negativa. Si [matemática] -1 <y <0 [/ matemática] entonces una es negativa y la otra es positiva, pero [matemática] y ^ 3 [/ matemática] disminuye más rápido que [matemática] y + 1 [/ matemática] si [ matemáticas] y \ le -1 [/ matemáticas]. Entonces la fórmula cúbica no involucra números complejos. Sin embargo, prefiero los métodos numéricos. Use Newton-Raphson, [math] y_ {new} = y_ {old} – \ frac {y_ {old} ^ 3-y_ {old} -1} {3y_ {old} ^ 2–1} [/ math]. Comience con [math] y_ {old} = 1 [/ math]. Entonces [math] y_ {new} = 1.5 [/ math]. Tome esto como el nuevo [math] y_ {old} [/ math] y repita hasta que el resultado sea constante a la precisión requerida.

No olvides sacar la raíz cuadrada para encontrar [matemática] x [/ matemática] (o dos raíces cuadradas si [matemática] x ^ {\ frac12} [/ matemática] debe incluir ambas).