¿Cómo resuelvo esta ecuación, [matemáticas] z ^ 3 + 3iz ^ 2 + 3z + i = 0? [/ Matemáticas]

Answer 1

¿Por qué son hermosos los números?

Es como preguntar por qué la novena sinfonía de Ludwig van Beethoven es hermosa. Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Sé que los números son hermosos. Si no son hermosos, nada lo es – Paul Erdos

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• Si no lo ves, no puedo hacerte verlo.

Definimos el polinomio como una función de valor compleja para un comienzo.

[matemáticas] f (z) = z ^ 3 + 3iz ^ 2 + 3z + i \ tag * {} [/ matemáticas]

Sé que no puedo hacer mucho si los coeficientes no son reales (¿o puedo?), Pero probé un número especial .

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[matemáticas] \ begin {align} f (i) & = i ^ 3 + 3i \ cdot i ^ 2 + 3i + i \\ & = – i-3i + 3i + i \\ & = 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

¡Bote! [matemáticas] (zi) [/ matemáticas] es un factor

• ¿Eso significa que [matemáticas] (z + i) [/ matemáticas] es un factor?
• No tan rápido, sostén tus caballos. Eso solo es cierto para polinomios con coeficientes reales.

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[matemáticas] \ begin {array} {c | cccc} i & 1 & 3i & 3 & i \\ & & & & & \\ & & i & -4 & -i \\\ hline & 1 & 4i & – 1 & \ boxed {0} \ end {array} \ tag * {} [/ math]

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[matemática] \ begin {align} z ^ 2 + 4iz-1 & = 0 \\ z ^ 2 + 4iz-1 & \ equiv (z- \ alpha) (z- \ beta) \\\ text {Vieta’s Rules} \ to & \ begin {cases} \ alpha + \ beta & = – 4i \\\ alpha \ beta & = – 1 \ end {cases} \\ (a- \ beta) & = \ sqrt {(\ alpha + \ beta) ^ 2-4 \ alpha \ beta} \\ & = \ sqrt {16i ^ 2 + 4} \\ & = \ sqrt {-12} \\ & = 2 \ sqrt3i \\\ hline \ alpha & = \ dfrac12 (-4i + 2 \ sqrt3i ) \\ & = i (-2+ \ sqrt3) \\ & = \ boxed {i (\ sqrt3-2)} \\\ beta & = \ dfrac12 (-4i-2 \ sqrt3i) \\ & = \ boxed { -i (2+ \ sqrt3)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Y eso es todo, supongo.

[matemáticas] \ bbox [2pt, borde: 2pt # 10f sólido] {\ bbox [#AFA] {z = i, i (\ sqrt3–2), – i (2+ \ sqrt3)}} \ tag * {} [/matemáticas]

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El uso de la fórmula cuadrática en lugar de las reglas de Vieta puede facilitar un poco los últimos cálculos.

Gracias a Frank Wei por la valiosa edición [math] \ LaTeX [/ math].

Answer 2

Eso depende de quién eres y de qué nivel en la escuela estás viendo esta pregunta.

Sospecho que estás en la secundaria. Has tenido álgebra, has estudiado polinomios, has visto cuadráticos y cúbicos. En cuyo caso, solo míralo un minuto. ¿Parecer familiar? El z ^ 3, luego z ^ 2, luego z, luego una constante? Esos coeficientes de 3? Hmm … Deberías recordar (x + y) ^ 3. Gee, ¿qué podría ser x e y? Hmm …

Answer 3

Esto es tan inusual debido a la presencia de coeficientes no reales.

Mi única posibilidad de resolver esto sería encontrar factores.

Answer 4

Factorizaré el lado izquierdo de una manera sorprendente y luego la fórmula cuadrática nos salvará.

[matemáticas] z ^ 3 + 3iz ^ 2 + 3z + i = z ^ 3 + 3iz ^ 2-3i ^ 2z-i ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (zi) ^ 3 + 6iz (zi) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (zi) (z ^ 2 + 4iz-1) [/ matemáticas]

Answer 5

Mirando los coeficientes, reales para poderes impares, imaginarios para los poderes pares, mi idea era hacer una sustitución:

z = x * i

Entonces puede factorizar i, obtiene una ecuación con solo factores reales y se aplican los métodos habituales.

Answer 6

z = – (sqrt (3) +2) * i

z = (sqrt (3) -2) * i