Si a, byc son las raíces de x ^ 3 + 8 = 0, entonces, ¿qué ecuación tiene las raíces a ^ 2, b ^ 2 y c ^ 2?

Answer 1

Dado que [matemáticas] x ^ 3 + 8 = 0 [/ matemáticas]

Expresándolo en forma de [matemáticas] (a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] (x + 2) (x ^ 2 + 2x + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (x + 2) = 0 [/ matemática] o [matemática] (x ^ 2 + 2x + 4) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica x = -2 [/ matemáticas] (La primera raíz [matemáticas] a = -2 [/ matemáticas])

Para encontrar las otras dos raíces de la segunda ecuación, usamos la fórmula cuadrática:

[matemáticas] \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Las raíces son, por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {-12}} {2} [/ matemáticas]

En la simplificación,

[matemática] b = -1 + \ sqrt {3} i [/ matemática] y [matemática] c = -1 – \ sqrt {3} i [/ matemática]

Ahora, necesitamos encontrar la ecuación cuyas raíces son [matemáticas] a ^ 2, b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = 1 – 2 \ sqrt {3} i + 3i ^ 2 = 1 – 2 \ sqrt {3} i – 3 = 2 – 2 \ sqrt {3} i [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = 1 + 2 \ sqrt {3} i + 3i ^ 2 = 1 + 2 \ sqrt {3} i – 3 = 2 + 2 \ sqrt {3} i [/ matemáticas]

[matemática] (x – b ^ 2) [/ matemática] [matemática] [/ matemática] y [matemática] (x – c ^ 2) [/ matemática] son ​​factores de la ecuación deseada.

[matemáticas] \ implica (x – b ^ 2) (x – c ^ 2) [/ matemáticas] también es un factor de la ecuación deseada.

[matemáticas] (x – b ^ 2) (x – c ^ 2) = (x – 2 + 2 \ sqrt {3} i) (x – 2 – 2 \ sqrt {3} i) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x – b ^ 2) (x – c ^ 2) = x ^ 2 -2x + 2x \ sqrt {3} i – 2x – 2x \ sqrt {3} i + 4 – 4 (3) (i ^ 2) = x ^ 2 – 4x + 4 – 12 (-1) = x ^ 2 – 4x + 16 [/ matemáticas]

Para llegar a la ecuación deseada (final), multiplicamos el tercer factor que conocemos, es decir, [matemática] (x – 4) [/ matemática] a la resultante anterior para obtener,

[matemática] (x – 4) (x ^ 2 – 4x + 16) = 0 [/ matemática]

Usando la simplificación: [matemáticas] (a ^ 3 – b ^ 3) = (a – b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 3 – 4 ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

o [matemática] x ^ 3 – 64 = 0 [/ matemática] es la ecuación requerida.

Answer 2

Como, [matemáticas] x ^ 3 + 8 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 3 = -8 \, \, \, \, ——— (1) [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] x = \ sqrt [3] {- 8} = -2 [/ matemáticas]

Pero esta es solo una raíz, el resto dos raíces solo se pueden encontrar en un campo complejo.

Para eso necesitamos resolver la ecuación [math] (1) [/ math] de la siguiente manera.

[matemáticas] Sea -8 = r (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) \, \, \, \, ——— (2) [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] r \ cos (\ theta) = -8 \, \, \, \, ——— (3) [/ matemáticas]

y, [matemáticas] r \ sin (\ theta) = 0 \, \, \, \, ——— (4) [/ matemáticas]

Cuadrando y luego agregando ecuaciones [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas] tenemos,

[matemáticas] r ^ 2 \ cos ^ 2 (\ theta) + r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r ^ 2 (\ cos ^ 2 (\ theta) + \ sin ^ 2 (\ theta)) = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r ^ 2 = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = 8 \, \, \, \, ——— (5) [/ matemáticas]

Entonces, las ecuaciones [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas] se convierten en,

[matemáticas] 8 \ cos (\ theta) = -8 [/ matemáticas]

y, [matemáticas] 8 \ sin (\ theta) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos (\ theta) = -1 [/ matemáticas]

y, [matemáticas] \ sin (\ theta) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ theta) = \ pi [/ matemáticas]

La ecuación [matemáticas] (2) [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] 8 (\ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi)) = -8 \, \, \, \, ——— (6) [/ matemáticas]

La siguiente ecuación también es cierta, ya que las funciones [matemáticas] \ cos [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen [/ matemáticas] son ​​periódicas con el período [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 8 (\ cos (2n \ pi + \ pi) + i \ sin (2n \ pi + \ pi)) = -8 [/ matemáticas] donde [matemáticas] n = 0, 1, 2, … \, \, \, \, ——— (7) [/ matemáticas]

Entonces, la ecuación [matemáticas] (1) [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] x ^ 3 = 8 (\ cos (2n \ pi + \ pi) + i \ sin (2n \ pi + \ pi)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 2 (\ cos (2n \ pi + \ pi) + i \ sin (2n \ pi + \ pi)) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemática]

[matemáticas] = 2 (\ cos (\ frac {2n \ pi + \ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {2n \ pi + \ pi} {3})) \, \, \, \ , ——— (8) [/ matemáticas]

Entonces las tres raíces son

[matemática] a = 2 (\ cos (\ frac {\ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {3})) [/ matemática] cuando [matemática] n = 0 [/ matemática ]

[matemáticas] = 2 (\ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + i \ sqrt {3} \, \, \, \, ——— (9) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 2 (\ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi)) [/ matemáticas] cuando [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (-1 + i0) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -2 \, \, \, \, ——— (10) [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 2 (\ cos (\ frac {5 \ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {5 \ pi} {3})) [/ matemáticas] cuando [matemáticas] n = 2 [ /matemáticas]

[matemáticas] = 2 (\ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 – i \ sqrt {3} \, \, \, \, ——— (11) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] a ^ 2 = 4 (\ cos (\ frac {\ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {3})) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (- \ frac {1} {2}) + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (-1 + i \ sqrt {3}) \, \, \, \, ——— (12) [/ matemáticas]

[matemática] b ^ 2 = 4 (\ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi)) ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] = 4 (\ cos (2 \ pi) + i \ sin (2 \ pi)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 \, \, \, \, ——— (13) [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = 2 (\ cos (\ frac {5 \ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {5 \ pi} {3})) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (\ cos (\ frac {10 \ pi} {3}) + i \ sin (\ frac {10 \ pi} {3})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (- \ frac {\ sqrt {3}} {2} – i \ frac {1} {2})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -2 (\ sqrt {3} + i) \, \, \, \, ——— (14) [/ matemáticas]

Las ecuaciones que tienen raíces [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] es

[matemáticas] (x – a ^ 2) (x – b ^ 2) (x – c ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x – 2 (-1 + i \ sqrt {3})) (x – 4) (x + 2 (\ sqrt {3} + i)) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 2 – i 2 \ sqrt {3}) (x – 4) (x + 2 \ sqrt {3} + i 2) = 0 [/ matemáticas]

Puede simplificar aún más la ecuación anterior.