¿Cuál es el alcance de las ecuaciones diferenciales?

Answer 1

En su forma más simple, una ecuación diferencial es una expresión de la forma [math] y ‘= f (x, y) [/ math], donde y es una función desconocida de la variable [math] x [/ math], y [ math] f [/ math] es una expresión analítica o algebraica. Una solución de esta ecuación diferencial es entonces una función (se supone que es diferenciable, por simplicidad nuevamente) de tal manera que la expresión anterior se cumple para todas las x en un determinado dominio.

La ecuación más simple es y ‘= ay con un factor constante a, y es fácil ver que una solución (de hecho, la única solución) es [math] y = ce ^ {ax} [/ math] con un factor constante [matemáticas] c [/ matemáticas].

Una ecuación diferencial puede y generalmente implicará derivados más altos que los de primer orden. Por lo general, se puede reducir a primer orden a expensas de reemplazar la función y con un vector de funciones (un “sistema”).

Las ecuaciones diferenciales se dividen en muchas clases, donde cada clase tiene ciertas técnicas para encontrar soluciones.

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: solo hay una variable independiente, típicamente llamada t o x.
• ecuaciones diferenciales parciales, donde la solución buscada depende de varias variables, y los operadores diferenciales en f son derivadas parciales. Las conocidas ecuaciones diferenciales de la física, como la ecuación de onda, la ecuación de calor, la ecuación de Maxwell para campos electromagnéticos, las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos, la relatividad general de Einstein, la ecuación de Schrödinger, todo el camino hasta las ecuaciones de Yang-Mills para las teorías de indicadores en La teoría cuántica de campos son ecuaciones diferenciales parciales.
• Tanto en las ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales hay lineales y no lineales. Los lineales generalmente se consideran del tipo más simple. Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial no lineal importante es la ecuación de Korteweg-deVries, que muestra las llamadas ondas de solitón (por ejemplo, ondas de agua de tsunami, pero también se usa positivamente en la transmisión óptica para evitar la dispersión de pulsos ópticos) por primera vez.

Históricamente, las ecuaciones diferenciales surgieron a fines del siglo XVII a través del trabajo de Leibnitz (“¿qué curvas en el plano (x, y) tienen sub tangentes de longitud constante?”) Y Newton (deducción de las órbitas planetarias y las leyes de Kepler de su nueva ley de gravedad).

Por lo general, las leyes de la física y otras ciencias se presentan en forma de ecuaciones diferenciales: las leyes de la física involucran datos que describen el estado actual (por ejemplo, la ubicación) y la tasa de cambio (por ejemplo, la velocidad o la aceleración). Poniendo estos dos en una fórmula como Newton [math] F = ma [/ math] ya tienes la forma más simple de una ecuación diferencial.

En las ecuaciones diferenciales ordinarias, los teoremas fundamentales para la existencia y la unicidad de las soluciones, al menos localmente, se consideran resueltos (teorema de Picard-Lindelöf). Para las ecuaciones diferenciales parciales existe una teoría general, pero no es totalmente aplicable a todas las clases. El progreso en Navier-Stokes o Yang-Mills se encuentra entre los desafíos del milenio del Instituto Clay.

Si el alcance de su pregunta fue más específico que esta respuesta general, comente en consecuencia; Estoy feliz de proporcionar más.

Answer 2

¡Tanto!

• La ecuación de calor / difusión, especialmente cuando se modifica para incluir convección y reacciones químicas, es una ecuación diferencial parcial relativamente simple que crea los campos completos de transferencia de calor y masa por sí sola. Eso significa implícitamente que está detrás de lo siguiente

• Suministro de medicamentos: garantizar la concentración correcta
• Todos los sistemas de calefacción y refrigeración.
• Comprender gran parte de la fisiología, ya que la difusión es muy importante para el funcionamiento de nuestros cuerpos.

La ecuación de onda también es una ecuación diferencial parcial con mucha importancia práctica en lo siguiente

• Ligero. La existencia de la luz misma se basa en reorganizar / combinar las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell para producir una ecuación de onda para campos eléctricos y magnéticos. De ahí la existencia de ondas electromagnéticas y, por lo tanto, de luz.
• Hablar en sí mismo también se basa en la ecuación de onda, en función de las propiedades matemáticas de la ecuación de onda que preserva las discontinuidades.
• Toda la teoría de la música está basada en relaciones entre frecuencias de sonido y armónicos, y los armónicos pueden entenderse entendiendo las soluciones a la ecuación de onda

Las ecuaciones de Navier-Stokes, que es la clave para la mecánica de fluidos, son ecuaciones diferenciales parciales. Entonces no podemos entender la mecánica de fluidos sin ellos.

Eso es solo algunos ejemplos, por cierto. Podría llegar a más, pero creo que el punto estaba claro. ¡Las ecuaciones diferenciales están en todas partes!

Answer 3

El alcance de las ecuaciones diferenciales ordinarias es resolver la evolución de una función uniforme sobre el espacio O el tiempo. Según tengo entendido, el OR es crítico aquí; cuando hay una función que varía continuamente tanto en el espacio como en el tiempo, esa es una ecuación diferencial parcial.

Ambos tipos de ecuaciones diferenciales tratan problemas en los que las derivadas de una función dependen de la función misma. Piense en el cálculo ordinario: recuerde que la derivada de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]. Como una ecuación diferencial ordinaria, esto se escribiría [math] \ frac {dy} {dx} = y [/ math], donde [math] y = e ^ x [/ math].

Las ecuaciones diferenciales son útiles porque con frecuencia tratan con funciones suaves y agradables que aparecen en todas partes: la segunda ley de Newton es una ecuación diferencial, el cálculo de variaciones trata con derivadas parciales para encontrar la función óptima, y ​​las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell tienen una formulación parcial ecuaciones diferenciales.

Creo que un buen resumen del alcance de las ecuaciones diferenciales es que tratan con ideas físicamente intuitivas (como propiedades observables en la ciencia: flujo de fluidos, movimiento, reacciones químicas), pero las extienden a escalas de longitud y tiempo que son difíciles de observar, y lo hacen en base a los supuestos subyacentes sobre la suavidad y la continuidad.

Answer 4

Puede encontrar ecuaciones diferenciales que se utilizan en el análisis de sistemas dinámicos, como un péndulo que se balancea libremente o un sistema de amortiguación masa-resorte. Estos son dos ejemplos populares. Otro buen ejemplo sería el análisis de un cuerpo que cae libremente a través de una atmósfera. Una simple suma de fuerza para este cuerpo que cae, que está sujeta a la fuerza de arrastre (una función de la velocidad) y la gravedad (una función de posición si se desea una alta precisión), conducirá a una ecuación diferencial ordinaria que se puede resolver, tal vez no analíticamente pero ciertamente numéricamente. También puede encontrar ecuaciones diferenciales en los estudios de transferencia de calor y flujo de fluidos.

Answer 5

¿Qué quieres decir con el alcance? ¿Quieres decir dónde se pueden usar?

Las ecuaciones diferenciales son básicamente el pan de cada día de la física.

Aquí hay uno:

Resolver esto con las condiciones de contorno correctas da un modelo de la forma en que los océanos fluyen en el planeta. El modelo resultante también incluye corrientes importantes como la Corriente del Golfo. Bastante impresionante, ¿verdad?