¿Cuántas raíces tiene esta ecuación [matemáticas] x ^ n + y ^ n = a, xy = b [/ matemáticas]?

Answer 1

Podemos sustituir la segunda ecuación en la primera para obtener

[matemáticas] x ^ n + (b / x) ^ n = a [/ matemáticas]

Multiplique por [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] x ^ {2n} + b ^ n = a * x ^ n [/ matemáticas]

Un polinomio de grado [matemático] 2 n [/ matemático]. Tal polinomio tendrá 2 raíces no complejas. El número de raíces reales es un truco para calcular.

Para contar la raíz real podemos considerar diferentes valores para n. Cuando n = 1 tenemos [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas] y [matemáticas] xy = b [/ matemáticas]. Esta es la intersección de una línea con una hipérbole, por lo que tendrá 0, 1 o dos soluciones dependiendo de los valores de a y b.

Para n = 2 es la intersección de un círculo con una hipérbole. Ambos son simétricos sobre el origen, por lo que tienen 0, 2 o 4 intersecciones.

Para n = 3 la primera ecuación es [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = a [/ matemáticas] esto está relacionado con un Superellipse, se aproxima a dos lados de un cuadrado y tiene asíntotas x = y. Tendrá un mínimo de 2 soluciones y un máximo de 6.

Jugando con las expresiones y trazando los gráficos en el trazador de curvas implícito / algebraico Jep / GWT No puedo ver cómo más de 2 soluciones son posibles.

Para n = 4 tenemos una aproximación acotada a un cuadrado. Podría haber 0, 2 o 4 soluciones. No estoy seguro de si es posible obtener soluciones más reales.

Para mayor n obtenemos el mismo patrón que 3 y 4. Para impar n, creo que hay soluciones reales de 0,1,2. Para incluso n es 0, 2 o 4.

Answer 2

Infinitamente muchos.

A partir de la primera ecuación, puede encontrar tales pares de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] y luego, su multiplicación será algo más como [matemáticas] b [/ matemáticas], por ejemplo .

Si escribiste algo relacionado con [matemáticas] a [/ matemáticas] o en términos de [matemáticas] a [/ matemáticas] en la segunda ecuación, habría sido una historia diferente.

Answer 3

Supongo que x e y pueden ser complejas.

Primero supongamos que ni a ni b son 0. Luego hay 2n raíces o soluciones (x ‘, y’). Algunos pueden ser degenerados, pero me saltearé ese análisis.

De la segunda ecuación vemos y = b / x. Enchufe en la primera ecuación, obteniendo

x ^ n + bx ^ -n = a

Multiplica por x ^ n, obteniendo

x ^ 2n – ax ^ n + b = 0

Este es un polinomio de orden 2n, con raíces 2n (incluido complejo). Las respuestas finales, o raíces, serían los pares (x ‘, 1 / x’) para todas las soluciones 2n.

Sin embargo, es diferente si b = 0. Entonces x o y deben ser 0. Si a también es 0, entonces x = y = 0 (1 solución). De lo contrario, (suponiendo que y fuera el que era 0) solo habría n raíces, x = las enésimas raíces de a. Las respuestas finales serían los n pares (x ‘, 0).

Answer 4

x ^ n + y ^ n = a, Eq 1 y xy = b

entonces y = b / x sustituye en la ecuación 1

x ^ n + b ^ n / x ^ n = a, multiplica por x ^ n

x ^ 2n -ax ^ n + b ^ n = 0 tiene 2n raíces