Si desea un polinomio cúbico con coeficientes reales que tengan dos raíces imaginarias y una raíz real, cualquier polinomio cúbico de la forma
[matemáticas] a (xr) (xz) (x- \ bar z) [/ matemáticas]
donde [math] a, r \ in \ mathbb {R}, z \ in \ mathbb {C}, z \ not \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 [/ math] cumplirán esas condiciones prácticamente al inspección.
Sin embargo, vale la pena multiplicar la expresión para ver que cumple con los criterios. Al hacer eso, obtienes:
- Si la ecuación [matemática] x ^ 4- (k-1) x ^ 2 + 2-k = 0 [/ matemática] tiene 4 raíces reales distintas, ¿cuál es el rango de valores posibles de la k real?
- ¿Por qué escribimos ecuaciones de equilibrio para cada grado de libertad mientras usamos la ecuación de deflexión de pendiente para analizar vigas estáticamente indeterminadas?
- ¿Cuál es el alcance de las ecuaciones diferenciales?
- ¿Es el sistema de ecuaciones lineales 2x + 3y = 9?
- ¿Por qué funciona la ecuación prima cuadrática de Euler?
[matemática] ax ^ 3 – (r + z + \ bar z) x ^ 2 + (rz + r \ bar z + z \ bar z) x + rz \ bar z [/ matemática]
Dada la propiedad de que para cualquier número complejo [math] z [/ math], la suma y el producto de sí mismo y su conjugado complejo es real (es decir, [math] z + \ bar z \ in \ mathbb {R}, z \ bar z \ in \ mathbb {R} [/ math]), que se puede mostrar fácilmente mirando [math] z = r + si [/ math], y sumando y multiplicando para obtener [math] z + \ bar z = 2r, z \ bar z = r ^ 2 + s ^ 2 [/ math]), es fácil ver que todos los coeficientes son reales.
Lo que es menos obvio, y no voy a demostrarlo aquí, es que todos los polinomios cúbicos con coeficientes reales que tienen dos raíces imaginarias y una raíz real es de esa forma. Tampoco es obvio que cualquier cúbico tenga al menos una raíz real.
Pero…
Mientras escribo esto, la pregunta es ¿Cuáles son algunas ecuaciones para polinomios cúbicos que tienen dos raíces imaginarias y una raíz real?
Lo que he escrito anteriormente no son ecuaciones , son expresiones polinómicas. Así que me pregunto si puedo escribir ecuaciones que obliguen a sus variables libres a ser polinomios cúbicos con dos raíces imaginarias …
Puedo escribir fácilmente un par de condiciones que obligan a la solución a ser un polinomio cúbico:
[matemáticas] \ frac {d ^ 4f} {dx ^ 4} = 0, \ frac {d ^ 3f} {dx ^ 3} \ neq 0 [/ matemáticas].
La primera afirma que la cuarta derivada es idénticamente 0, lo cual solo es cierto para las funciones polinómicas de grado 3 o menos. El segundo afirma que la tercera derivada no es 0, lo que para funciones polinómicas, solo es cierto para el grado 3 o más. Entonces, desde el principio, sabemos que es un polinomio y que, como máximo, es de grado 3; a partir del segundo, sabemos que si es un polinomio, es al menos de grado 3. Entonces, los dos lo obligan a ser un polinomio cúbico.
Pero el problema viene porque la segunda tampoco es una ecuación; Es una “inequidad”. Dice que algo no es 0. ¿Cómo podemos convertir eso en una ecuación?
Qué pasa
[matemáticas] \ frac {\ frac {d ^ 4f} {dx ^ 4}} {\ frac {d ^ 3f} {dx ^ 3}} = \ frac {D ^ 4f} {D ^ 3f} = 0 [/ matemáticas]
(donde [math] D [/ math] es una notación alternativa para [math] \ frac {d} {dx} [/ math], entonces [math] D ^ 4 = \ frac {d ^ 4} {dx ^ 4 }[/matemáticas]).
En este caso, el LHS no se define si [matemática] D ^ 3f = 0 [/ matemática], por lo que cualquier [matemática] f [/ matemática] que satisfaga no puede ser un polinomio de segundo o menor grado, mientras que el numerador de [matemática] D ^ 4f = 0 [/ matemática] solo cuando [matemática] f [/ matemática] es un polinomio de tercer o menor grado.
Entonces tenemos [math] \ frac {D ^ 4f} {D ^ 3} = 0 [/ math] es una ecuación que garantiza que [math] f [/ math] es un polinomio cúbico. ¿Qué podemos hacer sobre las otras condiciones?
Tenemos un par de opciones: una es tratar de llegar a otras condiciones que podamos convertir en ecuaciones que satisfagan todos los polinomios cúbicos con raíces complejas, pero no las que tienen dos o tres raíces reales, o podemos tratar de encontrar con condiciones suficientes, pero no necesarias para dos raíces complejas reales.
Vayamos con la segunda idea, al menos inicialmente.
Una forma de verlo es que si la función cúbica es estrictamente monotónica, entonces se garantiza que solo tiene una raíz real, por lo que debe tener dos raíces complejas. La función es estrictamente monotónica si su derivada es siempre positiva o siempre negativa, y nunca cero. Entonces tenemos:
[matemática] \ para toda x, (Df) (x) \ neq 0 [/ matemática]
como una condición Pero, ¿cómo reescribimos eso como una ecuación?
Bueno, sabemos que [matemática] Df [/ matemática] es un polinomio cuadrático [matemático] px ^ 2 + qx + w [/ matemático], y es fácil ver que [matemático] Df (0) = w, D ^ 2f (0) = q, D ^ 3f (0) = 2p [/ math], por lo que sabemos que los ceros de [math] Df [/ math] son [math] x = \ frac {-q \ pm \ sqrt {q ^ 2-4pw}} {2p} [/ math]. Queremos afirmar que no hay ceros, por lo que queremos [matemáticas] q ^ 2-4pw = D ^ 2f (0) ^ 2-2 (D ^ 3f (0) (Df (0) <0 [/ matemáticas] .
Nuevamente, eso no es una ecuación, es una desigualdad, pero está más cerca. Entonces, agreguemos [math] \ epsilon [/ math] al LHS para obtener [math] D ^ 2f (0) ^ 2-2D ^ 3f (0) Df (0) + \ epsilon = 0, \ epsilon> 0 [/matemáticas]. No elimina la desigualdad, pero se hace a un lado.
Hasta ahora, tenemos dos ecuaciones, la combinación de las cuales garantiza que las soluciones serán funciones polinómicas cúbicas con una sola raíz real:
[matemáticas] \ frac {D ^ 4f} {D ^ 3f} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] D ^ 2f (0) ^ 2-2D ^ 3f (0) Df (0) + \ epsilon = 0 (\ epsilon> 0) [/ matemáticas]
El físico Richard Feynman describió un truco para unificar ecuaciones de la forma [matemáticas] A = 0, B = 0, C = 0 [/ matemáticas] en una sola ecuación unificado al cuadrarlas y sumarlas para obtener [matemáticas] A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 = 0 [/ math], que solo puede ser cierto para todos los originales, también fueron cero. Dado que nuestras dos ecuaciones tienen la forma [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas], podríamos hacer lo mismo aquí, para obtener una expresión que comience [matemáticas] (\ frac {D ^ 4f} {D ^ 3f}) ^ 2 + \ cdots = 0 [/ math], pero no estoy seguro de que nos salve ninguno.
Probablemente haya formas más inteligentes de codificar las condiciones que desea en ecuaciones, pero esta noche no soy tan inteligente.