Si | a | + a + b = 75 y a + | b | – b = 150, ¿qué es | a | + | b |?

Answer 1

Tenemos,

1. [matemáticas] | a | + a + b = 75 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] a + | b | – b = 150 [/ matemáticas]

La función del módulo:

[matemáticas] f (x) = x \ para todos x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 para x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = -x \ forall x <0 [/ matemáticas]

Caso 1:

Deje [math] a> 0 [/ math] y [math] b> 0 [/ math].

Entonces, [matemáticas] | a | = a [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | = b [/ matemáticas].

De la ecuación 2 obtenemos, [matemáticas] a = 150 (| b | = b) [/ matemáticas].

Entonces, al poner [matemáticas] a = 150 [/ matemáticas] en la ecuación 1 obtenemos, [matemáticas] b = -225 [/ matemáticas]

Esto contradice nuestra suposición de [matemáticas] b <0 [/ matemáticas].

Caso 2:

Deje [math] a> 0 [/ math] y [math] b <0 [/ math].

Entonces, [matemáticas] | a | = a [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | = -b [/ matemáticas]. (Por definición de función de módulo)

La ecuación 1 se convierte en [matemáticas] 2a + b = 75 [/ matemáticas] y la ecuación 2 se convierte en [matemáticas] a-2b = 150 [/ matemáticas].

Al resolver este conjunto de ecuaciones sumando dos veces la ecuación 1 a la ecuación 2, obtenemos [matemática] 5a = 300 [/ matemática] o, [matemática] a = 60 [/ matemática] y [matemática] b = -45 [/ matemática ] que cumple con nuestros supuestos.

Caso 3:

Deje que [math] a 0 [/ math].

Entonces, [matemáticas] | a | = -a [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | = b [/ matemáticas].

De la ecuación 1 obtenemos, [matemática] b = 75 [/ matemática] y luego de la ecuación 2, obtenemos [matemática] a = 150 [/ matemática] que nuevamente contradice nuestra suposición de [matemática] a <0 [/ matemática] .

Caso 4:

Sea [math] a <0 [/ math] y [math] b <0 [/ math].

Entonces [math] | a | = -a [/ math] y [math] | b | = -b [/ math].

De la ecuación 1 obtenemos [matemática] b = 75 [/ matemática] que contradice la suposición de [matemática] b <0 [/ matemática].

Por lo tanto, el caso 2 se destaca y tenemos [matemáticas] a = 60 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -45 [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] | a | + | b | = | 60 | + | -45 | = 60 + 45 = 105 [/ matemáticas]

Gracias