¿Cuál es el semiperímetro de un triángulo con altitudes 10, 12 y 15?

Answer 1

Deje que el triángulo sea [matemática] ∆ABC [/ matemática] con altitudes AD que cumplen BC, BE que cumplen AC y CF que cumplen BA.

Deje que la longitud de AB = a, BC = by CA = c.

Sea, AD = 10 unidades, BE = 12 unidades, CF = 15 unidades

Luego semiperimetro, [matemática] s = \ frac {a + b + c} {2} [/ matemática]

Área de [matemáticas] ∆ABC, A = \ frac {1} {2} * base * altura = \ frac {1} {2} * BC * AD = \ frac {1} {2} * CA * BE = \ frac {1} {2} * AB * CF [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow A = \ frac {1} {2} * b * 10 = \ frac {1} {2} * c * 12 = \ frac {1} {2} * a * 15 [/ math]

[matemática] \ Rightarrow b = \ frac {a * CF} {AD} = \ frac {a * 15} {10} = (\ frac {3} {2}) * a [/ math]

Del mismo modo, [matemáticas] c = \ frac {a * CF} {BE} = \ frac {a * 15} {12} = (\ frac {5} {4}) * a [/ matemáticas]

Luego semiperimetro, [matemáticas] s = \ frac {a + b + c} {2} = \ frac {a + (\ frac {3} {2}) * a + (\ frac {5} {4}) * a} {2} = \ frac {a * (4 + 6 + 5)} {2 * 4} = \ frac {a * 15} {8} [/ matemáticas]

Área de [matemáticas] ∆ABC [/ matemáticas] usando la fórmula de la garza: [matemáticas] A [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ sqrt {\ frac {15a} {8} * (\ frac {15a} {8} -a) * (\ frac {15a} {8} – \ frac {3a} {2}) * (\ frac {15a} {8} – \ frac { 5a} {4})} = \ sqrt {\ frac {15a} {8} * (\ frac {7a} {8}) * (\ frac {3a} {8}) * (\ frac {5a} {8 })} = \ sqrt {\ frac {15a * 7a * 3a * 5a} {8 * 8 * 8 * 8}} = \ frac {15a ^ 2 \ sqrt {7}} {64} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow A = \ frac {15a ^ 2 \ sqrt {7}} {64} = \ frac {1} {2} * a * CF = \ frac {1} {2} * a * 15 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ frac {15a ^ 2 \ sqrt {7}} {64} = \ frac {1} {2} * a * 15 [/ math]

[math] \ Rightarrow a = \ frac {32} {\ sqrt {7}} [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow b = (\ frac {3} {2}) * a = \ frac {3} {2} * \ frac {32} {\ sqrt {7}} = \ frac {48} {\ sqrt {7}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow c = (\ frac {5} {4}) * a = \ frac {5} {4} * \ frac {32} {\ sqrt {7}} = \ frac {40} {\ sqrt {7}} [/ matemáticas]

Luego semiperimetro, [matemáticas] s = \ frac {a + b + c} {2} = \ frac {\ frac {32} {\ sqrt {7}} + \ frac {48} {\ sqrt {7} } + \ frac {40} {\ sqrt {7}}} {2} = \ frac {45.3557} {2} = 22.6778 \ aproximadamente 22.68 unidades [/ matemáticas]

¡Feliz matemática!

Answer 2

Deje que el área del triángulo ABC sea = ‘k’ =

1/2 * a * 10 = 5a

O, 1/2 * b * 12 = 6b

O, 1/2 * c * 15 = 7.5c

es decir, k = 5a

=> a = k / 5 …………… (1)

K = 6b

=> b = k / 6 …………… .. (2)

K = 7.5c

=> c = k / 7.5 = 2k / 15 …………… (3)

Ahora, encuentre el área por la fórmula de Heron

Área = √ {s (sa) (sb) (s- c)} ………. (4)

Aquí, s = semipetímetro = (a + b + c) / 2

=> s = {k / 5 + k / 6 + 2k / 15} / 2

=> s = k / 4

Entonces por la fórmula (4)

área = k = √ {k / 4 * k / 20 * k / 12 * 7k / 60}

=> k = √ {(k² * k² * 7) / (4² * 4² * 3² * 5²)}

=> k = {k² / 240} √7

=> 1 / k = √7 / 240

=> k = 240 / √7

Ahora, ya que el semiperímetro s = k / 4

=> s = (240 / √7) / 4 = 240 / 4√7

=> s = 240√7 / 28

=> s = (60√7) / 7 = (60 * 2.646) / 7 = 158.76 / 7

= 22.68 unidad

Answer 3

Con semiperímetro TrianCal = 45,355736761107266 / 2 = 22,677868380553633

Answer 4

El triángulo con las tres altitudes de 10, 12 y 15 se resuelve de la siguiente manera.

Deje que el triángulo ABC sea tal que la altitud en BC = 10 (o AD), en CA = 12 (o BE) y en AB = 15 (o CF).

Dado que el área será la misma considerando cada uno de los lados como la base, podemos encontrar la longitud de los lados como: a * 10/2 = b * 12/2 = c * 15/2. Deje que el área sea Z.

Z = a * 10/2 = b * 12/2 = c * 15/2.

a = 2Z / 10, b = 2Z / 12, c = 2Z / 15

Perímetro = a + b + c = 2Z / 10 + 2Z / 12 + 2Z / 15. El MCM de 10, 12 y 15 es 60, entonces

a + b + c = 12Z / 60 + 10Z / 60 + 8Z / 60 = 30Z / 60 = Z / 2. Entonces, el semiperímetro es Z / 4 o 15Z / 60.

Aplique la fórmula de Heron para obtener Z = [15Z / 60 (15Z / 60-12Z / 60) (15Z / 60-10Z / 60) (15Z / 60–8Z / 60)] ^ 0.5

= [15Z / 60 (3Z / 60) (5Z / 60) (7Z / 60)] ^ 0.5

= [1575Z ^ 4/60 ^ 4] ^ 0.5

Z = 0.011023963 Z ^ 2

o Z = 1 / 0.011023963 = 90.71147352. Por lo tanto

a = 2Z / 10 = 90.71147352 / 5 = 18.1422947

b = 2Z / 12 = 90.71147352 / 6 = 15.11857892

c = 2Z / 15 = 90.71147352 / 7.5 = 12.09486314

El perímetro = a + b + c = 18.1422947 +15.11857892 + 12.09486314 = 45.35573676 y, por lo tanto, el semiperímetro = 45.35573676 / 2 = 22.67786838 unidades.