¿Cuál es la integral de [math] \ dfrac {\ sin x} {x + \ sin x} [/ math]?

Answer 1

Como señaló Awnon, no parece posible encontrar la integral indefinida de la función dada. Pero aún así, intentemos hacerlo en SageMath,

La entrada,

  f (x) = sin (x) / (x + sin (x))
 g (x) = integrar (f, x)
 show (g.simplify_full ())

Da una salida,

[matemáticas] \ begin {align} \ newcommand {\ Bold} [1] {\ mathbf {# 1}} x – \ int \ frac {x} {x + \ sin \ left (x \ right)} \, { dx} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Lo que claramente no ayuda mucho.

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Entonces, intentemos evaluar la integral definida de la misma función con un límite superior variable.

Decir,

[matemáticas] \ begin {align} f (x) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {\ sin (t)} {t + \ sin (t)} dt \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]

Comenzamos trazando la integral usando Desmos,

Ahora observe cómo b / w [matemática] – \ pi [/ matemática] a [matemática] \ pi [/ matemática] el gráfico es sorprendentemente similar a alguna variación de la función seno. Como los máximos y mínimos de [math] f (x) [/ math] se dan [math] 1.072 [/ math] y [math] -1.072 [/ math] respectivamente, multiplicaremos [math] \ sin (x ) [/ math] por [math] 1.072 [/ math]. Luego, observe cómo se reduce la frecuencia del seno. Por prueba y error, verá que está exactamente desactivado por un factor de [math] 2 [/ math].

Entonces, escriba esto en Desmos,

Dado que los gráficos se superponen completamente entre sí en el intervalo [matemáticas] [- \ pi- \ delta, \ pi + \ delta] [/ matemáticas], podemos decir que,

[matemáticas] \ begin {align} f (x) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {\ sin (t)} {t + \ sin (t)} dt = 1.072 \ cdot \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) \\ \ forall \ x \ in [- \ pi, \ pi] \ end {align} \ tag * {} [/ math]

¿Qué pasa con los valores de [math] x \ \ in \ \ {\ mathbb {R} – [- \ pi, \ pi] \} [/ math]?

A la derecha de [math] x = \ pi [/ math], para valores suficientemente grandes de [math] x [/ math], [math] f (x) [/ math] es el gráfico de una función constante de forma [matemáticas] y = a = 0.61 [/ matemáticas]

Del mismo modo, a la izquierda de [matemáticas] x = – \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es el gráfico de una función constante de la forma [matemáticas] y = b = -0.61 [ /matemáticas]

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Para resumir todo,

[matemáticas] \ bbox [# a4eff2, 5px] {\ boxed {f (x) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {\ sin (t)} {t + sin (t)} dt = \ begin {casos} -0.61 \ \ forall \ x \ in (- \ pi, – \ infty) \\ 1.072 \ cdot \ sin (x / 2) \ \ forall \ x \ in [- \ pi, \ pi] \\ +0.61 \ \ forall \ x \ in (\ pi, \ infty) \ end {cases}}} [/ math]

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Verificación de Wolfram-Alpha:

Verificación de SageMath,

Entrada:

  de sage.symbolic.integration.integral import definite_integral
 g = definite_integral (sin (x) / (x + sin (x)), x, 0, pi)
 mostrar (N (g))

Salida:

[math] \ newcommand {\ Bold} [1] {\ mathbf {# 1}} 1.07178398889 [/ math]

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Aquí hay otra de mis respuestas con exactamente el mismo enfoque.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que esto no se puede hacer con ninguna técnica que conozca. Sin embargo, si hubiera un límite en la integral, siempre podemos usar métodos numéricos para encontrar alguna aproximación.