¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] \ sin ^ 4 \ theta + \ cos ^ 4 \ theta [/ matemáticas]?

Fórmula:

[matemáticas] a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2} – 2a ^ {2} b ^ {2} [/ matemáticas]

Simplificación:

[matemáticas] pecado ^ {4} \ theta + cos ^ {4} \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] = (sin ^ {2} \ theta + cos ^ {2} \ theta) ^ {2} – 2sin ^ {2} \ theta cos ^ {2} \ theta [/ math]

[matemáticas] = 1 ^ {2} – \ frac {1} {2} (2sin \ theta cos \ theta) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 – \ frac {1} {2} sin ^ {2} 2 \ theta [/ matemáticas]

Encontrar el rango:

[matemáticas] 0 \ leq sin ^ {2} 2 \ theta \ leq 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 \ leq \ frac {1} {2} sin ^ {2} 2 \ theta \ leq \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ leq – \ frac {1} {2} sin ^ {2} 2 \ theta \ leq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ leq 1- \ frac {1} {2} sin ^ {2} 2 \ theta \ leq 1 [/ matemáticas]

El valor máximo es 1 .

[matemáticas] 1 = (\ sin (\ theta)) ^ 2 + (\ cos (\ theta)) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = (\ sin (\ theta)) ^ 4 + 2 (\ sin (\ theta) \ cos (\ theta)) ^ 2 + (\ cos (\ theta)) ^ 4 [/ matemáticas]

Entonces estamos buscando valores de

[matemáticas] 1 – 2 (\ sin (\ theta) \ cos (\ theta)) ^ 2 [/ matemáticas]

Para el complejo general [math] \ theta [/ math] esto puede tomar cualquier valor complejo, pero supongo que [math] \ theta [/ math] debería ser real, entonces [math] \ sin (\ theta) [/ math] y [matemáticas] \ cos (\ theta) [/ matemáticas] también son reales.

Esta expresión no puede ser mayor que [math] 1 [/ math], y podemos hacerla exactamente [math] 1 [/ math] seleccionando [math] \ theta = 0 [/ math]. Entonces el máximo es [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

El valor máximo es 1