Se da que [matemáticas] \ sin \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + \ sin ^ 3 \ theta = 1. [/ Matemáticas]
La pregunta es “¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ cos ^ 6 \ theta – 4 \ cos ^ 2 \ theta + 8 \ cos \ theta \, \ ,? [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + \ sin ^ 3 \ theta = 1. [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad (\ sin \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + \ sin ^ 3 \ theta) ^ 3 = 1 ^ 3. [/ math]
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[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ sin ^ 2 \ theta + \ sin ^ 4 \ theta + \ sin ^ 6 \ theta + 2 \ sin ^ 3 \ theta + 2 \ sin ^ 4 \ theta + 2 \ sin ^ 5 \ theta = 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ sin ^ 6 \ theta + 3 \ sin ^ 4 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + 2 \ sin ^ 5 \ theta + 2 \ sin ^ 3 \ theta = 1. [/ matemáticas ]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad \ sin ^ 6 \ theta + 3 \ sin ^ 4 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 3 \ theta + \ sin \ theta) = 1. [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ sin ^ 6 \ theta + 3 \ sin ^ 4 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + 2 \ sin ^ 2 \ theta (1 – \ sin ^ 2 \ theta) = 1 [/ math] (ya que [math] \ sin \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + \ sin ^ 3 \ theta = 1). [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad (1 – \ cos ^ 2 \ theta) ^ 3 + 3 (1 – \ cos ^ 2 \ theta) ^ 2 + (1 – \ cos ^ 2 \ theta) + 2 ((1 – \ cos ^ 2 \ theta) \ cos ^ 2 \ theta = 1. [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad (1 – 3 \ cos ^ 2 \ theta + 3 \ cos ^ 4 \ theta – \ cos ^ 6 \ theta) + 3 (1 – 2 \ cos ^ 2 \ theta + \ cos ^ 4 \ theta) + (1 – \ cos ^ 2 \ theta) + 2 (\ cos ^ 2 \ theta – \ cos ^ 4 \ theta) = 1. [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad – \ cos ^ 6 \ theta + 4 \ cos ^ 4 \ theta – 8 \ cos ^ 2 \ theta + 5 = 1. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ cos ^ 6 \ theta – 4 \ cos ^ 2 \ theta + 8 \ cos \ theta = 5 – 1 = 4. [/ math]