En trigonometría, ¿cómo hay cuatro identidades de suma de productos? ¿Por qué sin (x) cos (y) y cos (x) sin (y) son iguales a cosas diferentes? ¿La propiedad conmutativa no dicta que son iguales?

Answer 1

No, la propiedad conmutativa no funciona aquí.

Tenga en cuenta que [math] \ sin (\ cdot) [/ math] y [math] \ cos (\ cdot) [/ math] son funciones , no variables.

Cuando escribimos [math] \ sin (x) [/ math], esto significa “toma el número [math] x [/ math] y luego toma la función seno de ese número”, no “Take the number [math] x [/ math] y multiplíquelo por [math] \ sin [/ math] “.

Por ejemplo, si [matemáticas] x = \ frac {\ pi} {6} [/ matemáticas] (o [matemáticas] 30 ^ {\ circ} [/ matemáticas] si prefiere trabajar con grados en lugar de radianes) y [matemáticas ] y = \ frac {\ pi} {2} [/ math] ([math] = 90 ^ {\ circ} [/ math]), luego [math] \ sin (x) = \ frac {1} {2 } [/ matemática], [matemática] \ cos (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemática], [matemática] \ sin (y) = 1 [/ matemática], [matemática] \ cos (y) = 0 [/ matemáticas].

Entonces [math] \ sin (x) \ cos (y) = 0 [/ math] y [math] \ cos (x) \ sin (y) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math ] Está claro que estos no son lo mismo.

Answer 2

Solo se ven diferentes. Aquí hay uno, [matemáticas] \ sen X \ cos Y = \ frac {1} {2} \ left [{\ sin (X + Y) + \ sin (X – Y)} \ right] [/ math].

Ahora, si lo desea, [matemática] \ sin Y \ cos X = \ frac {1} {2} \ left [{\ sin (Y + X) + \ sin (Y – X)} \ right] [/ math ]

Pero los matemáticos son algo obsesivos y les gustan sus variables en orden alfabético. Mientras [math] \ sin (X + Y) = \ sin (Y + X) [/ math], [math] \ sin (Y – X) = – \ sin (X – Y) [/ math]. Es por eso

[matemática] \ sin Y \ cos X = \ frac {1} {2} \ left [{\ sin (X + Y) – \ sin (X – Y)} \ right] [/ math]

Answer 3

No estoy seguro de entender la primera pregunta (cómo). En cuanto a la segunda pregunta, la propiedad acumulativa de la multiplicación realmente no se aplica como [math] \ sin (x) \ cos (y) [/ math] y [math] \ cos (x) \ sin (y) [/ math] son ​​tan diferentes como [math] ab [/ math] y [math] mn [/ math]. En general [math] \ sin (x) \ ne \ cos (x) [/ math] y, del mismo modo, [math] \ sin (y) \ ne \ cos (y) [/ math] en general.