Podemos deducir por simetría de la expresión que su valor máximo sería cuando [math] A [/ math], [math] B [/ math] y [math] C [/ math] son iguales, lo que significa que cada uno de sus valores debe ser [math] \ dfrac {\ pi} {3} [/ math]. Sin embargo, déjame intentar una prueba más rigurosa.
Como [math] ABC [/ math] es un triángulo, tenemos
[matemáticas] C = \ pi-AB [/ matemáticas]
Entonces,
- ¿Cómo puedo encontrar el dominio de tan x y sec x?
- ¿Cuál es la fórmula para [matemáticas] A \ cos x + B \ sin y [/ matemáticas]?
- Si sin theta + sin cuadrado theta + sin cubo theta igual a 1, entonces el poder de costo 6 theta – 4 cos cuadrado 4 theta + 8 cos cuadrado theta igual entonces?
- ¿Por qué no se produce la refracción cuando el ángulo incidente es mayor que el ángulo crítico?
- ¿Cómo se demuestra que tan theta multiplicado por cos theta, sin ^ 3 theta = sin theta multiplicado por cos ^ 2 theta?
[matemáticas] \ sin \ dfrac {A} {2} \, \ sin \ dfrac {B} {2} \, \ sin \ dfrac {C} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin \ dfrac {A} {2} \, \ sin \ dfrac {B} {2} \, \ sin \ dfrac {\ pi-AB} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin \ dfrac {A} {2} \, \ sin \ dfrac {B} {2} \, \ cos \ dfrac {A + B} {2} [/ matemáticas]
La expresión anterior tiene dos variables independientes [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].
Vamos a representarlo como una función.
[matemáticas] f (A, B) = \ sin \ dfrac {A} {2} \, \ sin \ dfrac {B} {2} \, \ cos \ dfrac {A + B} {2} [/ matemáticas]
Entonces tenemos,
[matemáticas] \ dfrac {\ partial f} {\ partial A} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ dfrac {B} {2} cos (A + \ dfrac {B} {2}) [/ math ]
[matemáticas] \ dfrac {\ partial f} {\ partial B} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ dfrac {A} {2} cos (B + \ dfrac {A} {2}) [/ math ]
En los máximos de [math] f [/ math], deberíamos tener
[matemáticas] \ dfrac {\ partial f} {\ partial A} = \ dfrac {\ partial f} {\ partial B} = 0 [/ matemática]
Suponiendo que [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] no son cero, tenemos
[matemáticas] A + \ dfrac {B} {2} = B + \ dfrac {A} {2} = \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]
Esto nos da
[matemáticas] A = B = \ dfrac {\ pi} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] C = \ pi-AB = \ dfrac {\ pi} {3} [/ matemáticas]
Entonces, el valor máximo de [math] \ sin \ dfrac {A} {2} \, \ sin \ dfrac {B} {2} \, \ sin \ dfrac {C} {2} [/ math] será
[matemáticas] \ sin ^ 3 \ dfrac {\ pi} {3} = \ dfrac {1} {8} [/ matemáticas]