¿Cuál es la [matemática] \ int \ frac {\ sin ^ {3} x} {(1 + \ cos ^ {2} x) \ sqrt {\ cos ^ {4} x + \ cos ^ {2} x + 1}} dx [/ matemáticas]?

Answer 1

De acuerdo, esta es una muy buena pregunta.

primero, podemos escribir [math] \ sin ^ {3} x [/ math] como ([math] 1- \ cos ^ 2x) \ sin x [/ math].

entonces, tenemos, [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {(1 -cos ^ 2x) (sinx)} {(1 + cos ^ 2x) \ sqrt {cos ^ 4x + cos ^ 2x + cos x}} \ , dx. [/ math]

Ahora, dejemos [math] cosx = t, [/ math] para obtener [math] -sinx dx = dt. [/ Math]

Entonces, se simplifica a,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {- (1 -u ^ 2)} {(1 + u ^ 2) \ sqrt {u ^ 4 + u ^ 2 + u}} \, du [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] u ^ 2 [/ matemáticas] en el numerador y el denominador,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {(1 – \ frac {1} {u ^ 2})} {(u + \ frac {1} u) \ sqrt {u ^ 2 + \ frac1 {u ^ 2} + 1}} \, du [/ matemáticas]

Aquí, si dejamos [math] u + \ frac {1} {u} = z, [/ math] entonces [math] dz = (1 – \ frac {1} {u ^ 2}) du, [/ math ] y [matemáticas] (u ^ 2 + \ frac {1} {u ^ 2} + 1) = (u + \ frac {1} {u}) ^ 2 – 1 = z ^ 2 – 1. [/ matemáticas ]

así, la integral se simplifica a,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {z \ sqrt {z ^ 2 – 1}} \, dz [/ matemáticas]

Ahora, hacemos la sustitución, [math] z = sec \ theta, [/ math] y luego [math] dz = \ sec \ theta \ tan \ theta d \ theta. [/ Math]

Chico, eso son muchas sustituciones. La buena noticia es que casi hemos terminado. Después de la simplificación esto se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ tan \ theta \ sec \ theta} {\ sec \ theta \ sqrt {\ sec ^ 2 \ theta – 1}} \, d \ theta [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ frac {\ tan \ theta \ sec \ theta} {\ sec \ theta \ tan \ theta} \, d \ theta [/ math]

[matemática] = \ displaystyle \ int \, d \ theta = \ theta + C [/ math]

[math] = \ displaystyle \ sec ^ {- 1} ({\ cos x + \ frac {1} {\ cos x}}) [/ math]

Y hemos terminado!

Vota a favor si esta solución ayudó. 🙂

Answer 2

A2A’ed por Pratik Soni

Vamos a jugar…

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int \ dfrac {\ sin ^ 3x} {(1+ \ cos ^ 2x) \ sqrt {\ cos ^ 4x + \ cos ^ 2x + 1}} \, dx & = \ int \ dfrac {(1- \ cos ^ 2x) \ sin x} {(1+ \ cos ^ 2x) \ sqrt {\ cos ^ 4x + \ cos ^ 2x + 1}} \, dx \\\ hline \ \\ text {Substitute} \ cos x = t \\\ implica – \ sin x dx = dt \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {t ^ 2-1} {(t ^ 2 + 1) \ sqrt {t ^ 4 + t ^ 2 + 1}} \, dt \\ & = \ int \ dfrac {t ^ 2 \ left (1- \ frac {1} {t ^ 2} \ right)} {t \ left (t + \ frac {1} {t} \ right) t \ sqrt {t ^ 2 + 1 + \ frac {1} {t ^ 2}}} \, dt \\ & = \ int \ dfrac {\ left (1- \ frac {1} {t ^ 2} \ right)} {\ left (t + \ frac {1} {t} \ right) \ sqrt {t ^ 2 + 1 + \ frac {1} {t ^ 2}}} \, dt \\ & = \ int \ dfrac {\ left (1- \ frac {1} {t ^ 2} \ right)} {\ left (t + \ frac {1} {t} \ right ) \ sqrt {\ left (t + \ frac {1} {t} \ right) ^ 2-1}} \, dt \\\ hline \\\ text {Substitute} t + \ frac {1} {t} = y \\\ implica \ left (1- \ frac {1} {t ^ 2} \ right) dt = dy \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {1} {y \ sqrt {y ^ 2-1 }} \, dy \\\ hline \\\ text {Sustituto} y = \ sec \ theta \\\ implica dy = \ sec \ theta \ tan \ theta d \ theta \\\ hline \\ & = \ int \ dfrac {\ sec \ theta \ tan \ theta} {\ sec \ theta \ tan \ theta} \, d \ theta \\ & = \ int \, d \ theta \\ & = \ theta + C \\ & = \ sec ^ {- 1} y + C \\ & = \ sec ^ {- 1} \ left (t + \ frac {1} {t} \ right) + C \\ & = \ sec ^ {- 1} \ left (\ cos x + \ sec x \ right) + C \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Gracias por la A2A

Aquí hay una idea de cómo resolverlo:

Deje que [math] \ cos x + \ dfrac {1} {\ cos x} = u, [/ math] luego:

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ sin ^ 3x} {(1+ \ cos ^ 2x) \ sqrt {\ cos ^ 4x + \ cos ^ 2x + 1}} \, dx = \ int \ dfrac {du} {u \ sqrt {u ^ 2-1}} [/ math]

entonces deje [math] u = \ cosh w [/ math].