Usa la aritmética de Peano.
La multiplicación en aritmética de Peano se define de tal manera que para cualquier número natural [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]:
(1) [matemáticas] a \ veces 0 = 0 [/ matemáticas] y
(2) [matemáticas] a \ veces S (b) = a + (a \ veces b) [/ matemáticas].
- ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {- 1} ^ {1} (1-x ^ n) ^ {1 / n} dx = 2 [/ matemáticas]?
- ¿Qué pasos se deben seguir para probar las identidades / igualdades trigonométricas?
- ¿Cómo puedo probar que [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = d ^ 3 [/ matemáticas] tiene infinitos ejemplos?
- ¿Cómo se prueba la identidad [math] \ sin (\ pi – \ alpha) = \ sin (\ alpha) [/ math]?
- ¿Es esta una prueba válida de por qué un n-gon regular siempre tiene n líneas de simetría?
Y además satisface
(3) [matemáticas] a + 0 = a [/ matemáticas]
[matemática] S (n) [/ matemática] es el número natural que sigue a [matemática] n [/ matemática], y por definición [matemática] S (0) = 1 [/ matemática].
Entonces,
[matemáticas] 1 \ veces 1 = 1 \ veces S (0) [/ matemáticas] [por definición de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]]
[matemáticas] = 1 + (1 \ veces 0) [/ matemáticas] [por (2)]
[matemáticas] = 1 + 0 [/ matemáticas] [por (1)]
[matemáticas] = 1 [/ matemáticas] [por (3)]
EDITAR
Supuse que el contexto es la axiomatización de los números naturales (formulado por los axiomas de Peano) y no, por ejemplo, la teoría de grupos. En el último caso, como otros escribieron, “[matemáticas] 1 [/ matemáticas]” se define como el elemento de identidad de algún grupo y la igualdad se mantiene por definición.