Lema: si [math] f_1, f_2, \ dots [/ math] son funciones reales integrables que convergen pontónicamente a una función [math] f [/ math] y contiene [math] 0 \ le f_k (x) \ le f_ {k + 1} (x) \ le \ infty [/ math] para todos [math] x \ in (a, b) [/ math] (es decir, la función [math] f [/ math] no tiene cualquier discontinuidad infinita en el dominio de interés), entonces [math] f [/ math] es integrable y
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ b f_n (x) \ textrm {d} x = \ int_a ^ bf (x) \ textrm {dx} [/ math]
Esta es una frase de un laico en el teorema de convergencia monótona de Lebesgue – Wikipedia.
Bueno, para nuestro problema particular, este es el caso: tenemos una secuencia no decreciente de funciones integrables que se convierten en una función continua en el intervalo [matemáticas] (- 1,1) [/ matemáticas], por lo que podemos “conmutar” el integral y el límite. Al hacer eso, obtenemos:
- ¿Qué pasos se deben seguir para probar las identidades / igualdades trigonométricas?
- ¿Cómo puedo probar que [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = d ^ 3 [/ matemáticas] tiene infinitos ejemplos?
- ¿Cómo se prueba la identidad [math] \ sin (\ pi – \ alpha) = \ sin (\ alpha) [/ math]?
- ¿Es esta una prueba válida de por qué un n-gon regular siempre tiene n líneas de simetría?
- ¿Cómo demuestras que [math] \ tan \ theta – \ sin \ theta \ cos \ theta = \ sin ^ 2 \ theta \ tan \ theta [/ math]?
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {- 1} ^ 1 \ left (1-x ^ n \ right) ^ {1 / n} \ textrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ 1 \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1-x ^ n \ right) ^ {1 / n} \ textrm {d} x [/ math]
Para [matemáticas] \ left | x \ right | <1 [/ matemática], el límite anterior es igual a [matemática] 1 [/ matemática], entonces tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1-x ^ n \ right) ^ {1 / n} \ textrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ 1 \ textrm {d} x = 2 [/ matemáticas]