¿Cómo integro [math] \ csc (x / 2) \ cot (x / 2) [/ math]?

Answer 1

Si la intención era pedir [math] \ int \ csc (x / 2) \ cot (x / 2) \, dx [/ math], entonces debería hacer una pausa para pensar: ¿Por qué suena familiar “tiempos cosecante”? ? Respuesta: porque

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [\ csc (x) \ right] = – \ csc (x) \ cot (x) \ tag * {} [/ math]

(Si no le suena familiar, no pasó suficiente tiempo estudiando derivados). Entonces, con la sustitución [matemáticas] u = x / 2 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ int \ csc (x / 2) \ cot (x / 2) \, dx = 2 \ int \ csc (u) \ cot (u) \, du = -2 \ csc (u) + C = -2 \ csc (x / 2) + C \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Nota: La pregunta fue editada después de que publiqué mi respuesta (vea el texto original al final), haciendo que la siguiente observación sea irrelevante. Tal como está escrito, la respuesta sería: de la misma manera que integras 5, o [math] \ sqrt2 [/ math], o e . La integral de cualquier constante A es [matemática] Ax + C [/ matemática] (suponiendo que la variable de integración es x ), por lo que esta integral sería [matemática] \ csc (\ pi / 2) \ cot (\ pi / 2 ) x + C [/ matemáticas].

¿Cómo integro [math] \ csc (\ pi / 2) \ cot (\ pi / 2) [/ math] ?

Answer 2

integral (1 / sinx * cosx / sinx)

= cosx / sinx * sinx

-> poner u = sinx, entonces du / dx = cosx → du = dx * cosx poner esto en la integral anterior

conseguirás

→ integral (du / (sinx) ^ 2)

= integral (du / x ^ 2)

= (x ^ -1) / – 1

= -1 / x

= -1 / sinx

Answer 3

Gracias por el A2A!

Deje que [math] u = \ frac {x} {2} \ implica \ mathrm {d} u = \ frac {1} {2} \ mathrm {d} x [/ math]:

[matemáticas] 2 \ displaystyle \ int \ csc (u) \ cot (u) \, \ mathrm {d} u [/ math]

Deje [math] v = \ csc {u} \ implica \ mathrm {d} v = – \ csc (u) \ cot (u) \ mathrm {d} u [/ math]:

[matemáticas] -2 \ displaystyle \ int \, \ mathrm {d} v = -2v + C = -2 \ csc {u} + C = -2 \ csc {\ frac {x} {2}} + C [ /matemáticas]