¿Cómo puedo probar que [math] \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {1- \ cos (\ theta)} {\ theta} = 0 [/ math]?

Answer 1

Si realmente no puede resolver esto, creo que debe verificar la regla de L’Hôpital – Wikipedia

En resumen, diferencia el nominador y el denominador y luego lo sustituye con [math] \ theta = 0 [/ math] para obtener el resultado de [math] 0 [/ math]

Pero asegúrese de revisar el tema para poder resolver cualquier límite de la misma categoría

Edite solo por diversión, así es como se ve

Entonces, la función realmente se aproxima a 0 cuando [math] \ theta [/ math] se acerca a 0

Editar 2

Resulta que el límite no es tan difícil después de todo … se puede hacer algebraicamente

Usando el hecho de que [matemáticas] \ cos x = 1 – 2 \ sin ^ 2 \ frac {x} {2} [/ matemáticas] podemos manipular el límite.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta} = \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {2 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {\ theta} \\ = \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ sin \ frac {\ theta} {2} × \ frac {\ sin \ frac {\ theta} {2}} {\ frac {\ theta} {2}} = 0 × 1 = 0 [/ matemáticas]

Entonces, aquí, todavía se puede hacer sin la regla de L’hôpital, con la vieja y hermosa manipulación ^ _ ^

Answer 2

Daré una prueba diferente basada en lo que dieron los demás. Los otros usaron fórmulas de medio ángulo, lo cual está bien, pero quiero dar algo que sea más simple. Entonces, el límite que queremos resolver es;

Ahora, claramente, si multiplico el lado derecho por uno, entonces el límite no cambiará. Haré esto de una manera inteligente;

Ahora, si expando eso, será;

Ahora, ¿puedes ver que en realidad puedo separar la función entre paréntesis y escribirla como el producto de dos límites ‘fáciles’ diferentes? Lo haré de la siguiente manera;

El primer límite, en el producto, es solo 1. El segundo límite en el producto es 0/2 = 0. Por lo tanto, concluimos que;

L = 0

Esto prueba la proposición.

Saludos 🙂

Answer 3

Aquí hay muchas respuestas excelentes, pero me gustaría agregar otra. No sé si esto es una prueba, pero creo que es interesante.

La expansión de Taylor para el coseno es

[matemáticas] \ cos θ = 1- \ dfrac {θ ^ 2} {2} + \ dfrac {θ ^ 4} {4!} – \ dfrac {θ ^ 6} {6!} +… [/ matemáticas]

Puedes conectar esto al límite para obtener

[matemáticas] \ dfrac {1- \ Big (1- \ frac {θ ^ 2} {2} + \ frac {θ ^ 4} {4!} -… \ Big)} {θ} [/ math].

Los 1 se cancelan y todos los términos restantes tienen un theta en ellos, por lo que también puede cancelar una potencia de theta para todos los términos restantes. Esto te deja con.

[matemáticas] \ dfrac {θ} {2} – \ dfrac {θ ^ 3} {4!} + \ dfrac {θ ^ 5} {6!}… [/ matemáticas]

¡En el límite de que theta va a cero, toda esta suma también va a cero!