¿Cómo demuestro que [matemáticas] \ cos \ frac {2 \ pi} {7} \ times \ cos \ frac {4 \ pi} {7} \ times \ cos \ frac {8 \ pi} {7} = \ frac {1} {8} [/ math]?

Answer 1

Usando la técnica muy inteligente de Andrew Bromage , la retrospectiva da una buena generalización.

Reclamación: [matemáticas] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ cos \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} = \ frac {1} {{{2 ^ n}}} [/ matemáticas]

Prueba: Al final, usamos el hecho de que [matemáticas] \ sin \ frac {{2 \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} = \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi }} {{{2 ^ n} – 1}} + 2 \ pi} \ right) = \ sin \ frac {{{2 ^ {n + 1}} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1 }}[/matemáticas]

Deje que [math] S = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ sin \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} [/ math].

Ahora

[matemática] {2 ^ n} S \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ cos \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} [/ matemáticas]

[matemática] = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ left ({2 \ sin \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} \ cos \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} \ right)} [/ math]

[matemática] = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ left ({\ sin \ frac {{{2 ^ {k + 1}} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} } \ right)} [/ math]

[matemática] = \ left [{\ prod \ limits_ {k = 2} ^ n {\ left ({\ sin \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} } \ right)}} \ right] \ sin \ frac {{{2 ^ {n + 1}} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} [/ math]

[matemática] = \ left [{\ prod \ limits_ {k = 2} ^ n {\ left ({\ sin \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} } \ right)}} \ right] \ sin \ frac {{2 \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}} [/ math]

[matemática] = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ sin \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} [/ matemática]

[matemáticas] = S [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] {2 ^ n} \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ cos \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} = 1 [/ matemáticas]

y [matemáticas] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n {\ cos \ frac {{{2 ^ k} \ pi}} {{{2 ^ n} – 1}}} = \ frac {1} { {{2 ^ n}}} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ grande \ displaystyle \ star [/ matemáticas] A2A

Considerar:

LHS

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) \ times \ left ( \ cos \ frac {8 \ pi} {7} \ right) [/ math]

Multiplica y divide por [matemáticas] \ large \ displaystyle 2 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) [/ math]

[math] = \ large \ displaystyle \ frac {2 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {8 \ pi} {7} \ right)} {2 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right)} [/ math]

Multiplica y divide por [matemáticas] \ grande \ displaystyle 2 [/ matemáticas]

Use la propiedad mencionada al final (primera)

[matemáticas] = \ large \ displaystyle \ frac {2 \ sin \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {8 \ pi} {7} \ right)} {4 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right)} [/ math]

Nuevamente, multiplique y divida por [math] \ large \ displaystyle 2 [/ math]

[math] = \ large \ displaystyle \ frac {2 \ sin \ left (\ frac {8 \ pi} {7} \ right) \ times \ cos \ left (\ frac {8 \ pi} {7} \ right) } {8 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right)} [/ math]

[math] = \ large \ displaystyle \ frac {\ sin \ left (\ frac {16 \ pi} {7} \ right)} {8 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) }[/matemáticas]

[math] = \ large \ displaystyle \ frac {\ sin \ left (2 \ pi + \ frac {2 \ pi} {7} \ right)} {8 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7 } \ right)} [/ math]

[matemática] = \ large \ displaystyle \ frac {\ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right)} {8 \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) }[/matemáticas]

[matemáticas] = \ large \ displaystyle \ boxed {\ large \ displaystyle \ underbrace {\ large \ displaystyle \ boxed {\ large \ displaystyle \ frac {1} {8}}} _ {\ large \ displaystyle \ text {RHS} }}[/matemáticas]

[matemática] \ grande \ displaystyle \ blacksquare [/ matemática]

PS – Propiedades utilizadas:

• [matemáticas] \ large \ displaystyle \ sin 2 \ theta = \ large \ displaystyle 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ math]
• [math] \ large \ displaystyle \ sin \ left (2 \ pi + \ theta \ right) = \ large \ displaystyle \ sin \ theta [/ math]

¡Gracias!

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 3

Me pidieron que respondiera. Hay 6 respuestas ante mí, pero las leeré más tarde. Si este método es un duplicado de ellos, tal vez elimine esta respuesta.

Cuando veo una multiplicación de términos trigonométricos, inmediatamente pienso que esto puede ser más fácil en el dominio complejo, usando la Fórmula de Euler. O, en este caso, la definición alternativa de [matemáticas] \ cos x = \ frac {e ^ {xi} + e ^ {- xi}} {2} [/ matemáticas].

En este caso, simplemente hagamos las cosas haciendo la sustitución [math] a = \ frac {2 \ pi} {7}, \ omega = e ^ {2 \ pi i / 7} [/ math], para obtener:

[matemáticas] (\ cos a) (\ cos 2a) (\ cos 4a) = \ frac {(e ^ {ai} + e ^ {- ai}) (e ^ {2ai} + e ^ {- 2ai}) (e ^ {4ai} + e ^ {- 4ai})} {8} = \ frac {(\ omega + \ omega ^ {- 1}) (\ omega ^ 2 + \ omega ^ {- 2}) (\ omega ^ 4 + \ omega ^ {- 4})} {8} [/ matemáticas]

[math] \ omega [/ math] es una séptima raíz de 1, lo que significa que [math] \ omega ^ 7 = 1 [/ math], y también que [math] \ omega ^ a = \ omega ^ {a + 7n } [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math]. También es fácil ver que [math] \ omega ^ a [/ math] y [math] \ omega ^ {- a} [/ math] son ​​conjugados complejos. Además, [matemáticas] \ omega + \ omega ^ 2 + \ omega ^ 3 + \ cdots + \ omega ^ 7 = 0 [/ matemáticas].

Multiplicando ese numerador, obtenemos:

[matemáticas] \ omega ^ {1 + 2 + 4} + \ omega ^ {1 + 2-4} + \ omega ^ {1-2 + 4} + \ omega ^ {1-2-4} + \ omega ^ {-1 + 2 + 4} + \ omega ^ {- 1 + 2-4} + \ omega ^ {- 1-2 + 4} + \ omega ^ {- 1-2-4} \\
= \ omega ^ 7 + \ omega ^ {- 1} + \ omega ^ 3 + \ omega ^ {- 5} + \ omega ^ 5 + \ omega ^ {- 3} + \ omega ^ 1 + \ omega ^ {- 7} \\
= \ omega ^ 0 + \ omega ^ 6 + \ omega ^ 3 + \ omega ^ 2 + \ omega ^ 5 + \ omega ^ 1 + \ omega ^ 0 \\
= (\ omega ^ 0 + \ omega ^ 1 + \ omega ^ 2 + \ omega ^ 3 + \ omega ^ 4 + \ omega ^ 5 + \ omega ^ 6) + \ omega ^ 0 \\
= 0 + 1 = 1 [/ matemáticas]

Eso nos da [matemáticas] (\ cos a) (\ cos 2a) (\ cos 4a) = \ frac {1} {8} [/ matemáticas].