Hay dos formas de hacerlo, pero ambas emplean las mismas reglas (regla de cadena y regla de producto). Ambos son ejemplos de diferenciación implícita, mientras que el segundo ejemplo se llama específicamente diferenciación logarítmica.
MÉTODO 1: Diferenciación implícita general
[matemáticas] xy = \ sin (x + y) [/ matemáticas]
Diferenciar ambos lados con respecto a x
- ¿Cuál es el siguiente nivel de matemáticas después del cálculo o ecuaciones diferenciales?
- ¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de 1 / (s ^ 3 + 1)?
- ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial [matemática] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} + y = 2e ^ x [/ math]?
- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial d ^ 2y / dx ^ 2 + y = secx?
- ¿Cuál será el grado y el orden de la ecuación diferencial cuando las potencias fraccionarias no se pueden eliminar como 2 (dy / dx) ^ (1/5) +5 (dy / dx) ^ (1/2) = (dy / dx) ^ (2/3)?
[matemáticas] x \ dfrac {dy} {dx} + y \ dfrac {dx} {dx} = \ left (1+ \ dfrac {dy} {dx} \ right) \ cos (x + y) [/ math]
[matemáticas] x \ dfrac {dy} {dx} + y = \ cos (x + y) + \ dfrac {dy} {dx} \ cos (x + y) [/ matemáticas]
Haga que [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] sea el tema
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} \ left (x- \ cos (x + y) \ right) = \ cos (x + y) -y [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ cos (x + y) -y} {x- \ cos (x + y)} [/ matemáticas]
MÉTODO 2: diferenciación logarítmica
[matemáticas] xy = \ sin (x + y) [/ matemáticas]
Toma el logaritmo natural de ambos lados
[matemáticas] \ ln (xy) = \ ln \ sin (x + y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln x + \ ln y = \ ln \ sin (x + y) [/ matemáticas]
Diferenciar ambos lados con respecto a x
[matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ cos (x + y)} {\ sin (x + y)} \ left (1+ \ dfrac {dy} {dx} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ cos (x + y)} {\ sin (x + y)} + \ dfrac {dy} {dx} \ dfrac {\ cos (x + y)} {\ sin (x + y)} [/ math]
Haga que [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] sea el tema
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} \ left (\ dfrac {1} {y} – \ dfrac {\ cos (x + y)} {\ sin (x + y)} \ right) = \ dfrac { \ cos (x + y)} {\ sin (x + y)} – \ dfrac {1} {x} [/ math]
Combina fracciones a fracciones individuales
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} \ left (\ dfrac {\ sin (x + y) -y \ cos (x + y)} {y \ sin (x + y)} \ right) = \ dfrac {x \ cos (x + y) – \ sin (x + y)} {x \ sin (x + y)} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} \ left (\ dfrac {\ sin (x + y) -y \ cos (x + y)} {y} \ right) = \ dfrac {x \ cos (x + y) – \ sin (x + y)} {x} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {xy \ cos (x + y) -y \ sin (x + y)} {x \ sin (x + y) -xy \ cos (x + y )}[/matemáticas]
Pero [matemáticas] xy = \ sin (x + y) [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {xy \ cos (x + y) -y (xy)} {xxy-xy \ cos (x + y)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {xy (\ cos (x + y) -y)} {xy (x- \ cos (x + y))} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ cos (x + y) -y} {x- \ cos (x + y)} [/ matemáticas]