¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial logística con recolección constante x ‘= x (1-x) -h para todos los valores del parámetro h> 0?

Answer 1

La ecuación es

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x (1-x) -h [/ matemáticas]

La manipulación simple produce

[matemáticas] dt = \ frac {dx} {x (1-x) -h} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] t-t_0 = – \ frac {2arctan \ left (\ frac {2x-1} {\ sqrt {4h-1}} \ right)} {\ sqrt {4h-1}} [/ math]

Invertir la relación que obtenemos

[matemáticas] x = – \ frac {\ sqrt {4h-1}} {2} \ tan \ left (\ frac {\ sqrt {4h-1} (t-t_0)} {2} \ right) + \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Si [matemáticas] h <1/4 [/ matemáticas] esto es igual a

[matemáticas] x = \ frac {\ sqrt {1-4h}} {2} \ tanh \ left (\ frac {\ sqrt {1-4h} (t-t_0)} {2} \ right) + \ frac { 1} {2} [/ matemáticas]

En el caso especial [matemática] h = 1/4 [/ matemática] la integral es

[matemáticas] t-t_0 = \ frac {2} {2x-1} [/ matemáticas]

y por lo tanto

[matemáticas] x = \ frac {1} {t-t0} + \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

Si bien esto puede resolverse en forma cerrada, ya que es separable, también puede dibujar un diagrama de fase que indique las soluciones cualitativas de la ecuación. He adjuntado un gif animado que muestra la curva de los valores de h entre 0 y 1. Porque la gráfica de x (1-x) + h es igual al cambio en x (x ‘), y el gráfico es positivo para a la izquierda de su intersección con el eje x, el flujo está hacia la derecha hasta esa intersección, y el flujo está hacia la izquierda cuando estamos en el lado derecho de la intersección, donde x ‘es negativo.