Tenga en cuenta que si [matemática] y = x ^ k [/ matemática] que [matemática] x ^ n \ frac {d ^ ny} {dx ^ n} [/ matemática] es proporcional a [matemática] y [/ matemática] para todos los valores de [math] n [/ math]. Esto será útil para “adivinar” la solución.
Primero resolvemos la ecuación homogénea asumiendo una solución de la forma [math] y_h = x ^ n [/ math] de modo que la ecuación homogénea se lea
[matemáticas] n (n-1) + n + 1 = 0 [/ matemáticas]
y así [matemáticas] n = \ pm i [/ matemáticas].
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Para la solución particular, adivine [math] y = ax ^ {m} [/ math] tal que
[matemáticas] a (m ^ 2 + 1) = 1 \ rightarrow a = \ frac {1} {m ^ 2 + 1} [/ matemáticas].
Por lo tanto, la solución es
[matemáticas] y = \ frac {x ^ m} {m ^ 2 + 1} + c_1 x ^ i + c_2 x ^ {- i} [/ matemáticas].
Si quieres simplificar esta nota que
[matemáticas] x ^ {\ pm i} = e ^ {\ pm i \ ln x} = \ cos (\ ln x) \ pm i \ sin (\ ln x) [/ math]
y así la solución general también puede escribirse como
[matemáticas] y = \ frac {x ^ m} {m ^ 2 + 1} + d_1 \ cos (\ ln x) + d_2 \ sin (\ ln x) [/ matemáticas]