¿Se pueden resolver todas las ecuaciones diferenciales por variación de parámetros?

Answer 1

En términos generales, la variación de parámetros es un método para reducir el orden de las ecuaciones lineales en uno, siempre que esté disponible una solución específica para la ecuación homogénea asociada. Este es un caso particular de un principio general: conocer una solución específica reduce el grado de libertad en uno. Lo llamamos un caso particular porque el método de reemplazar parámetros por funciones es válido debido a la linealidad de la ecuación; en otras palabras, los métodos no lineales deben usarse para ecuaciones no lineales con el fin de reducir el grado de libertad.

Volviendo a la ecuación lineal.

[matemáticas] L_t y (t) = a_n (t) \ frac {d ^ ny} {dt ^ n} + a_ {n-1} (t) \ frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ {n-1}} + \ cdots + a_0 (t) y = g (t), [/ math]

supongamos que se conoce una solución específica [matemática] y_0 [/ matemática] a la ecuación homogénea, es decir, [matemática] L_t y_0 (t) = 0 [/ matemática]. Entonces podemos reducir el orden de la ecuación estableciendo [math] y (t) = c (t) y_0 (t) [/ math]. El término de orden más bajo con respecto a [matemática] c (t) [/ matemática] en [matemática] L_t y (t) [/ matemática] es [matemática] c (t) L_t y_0 (t) = 0 [/ matemática] . Por lo tanto, el orden de la ecuación para [matemática] c (t) [/ matemática] es esencialmente uno menos que la ecuación original ya que de hecho es una ecuación de orden [matemática] (n-1) [/ matemática] para [matemáticas] c ^ \ prime (t) [/ matemáticas].

Para resumir, la variación de parámetros es una forma particular de expresar el principio de que conocer una solución es equivalente a poder reducir el orden en uno (uno puede pensar en esto como el espacio cociente de soluciones o la proyección ortogonal de la ecuación original) . Por lo tanto, de ninguna manera es un método “suficientemente general” para resolver ecuaciones diferenciales.

Answer 2

El enfoque de variación de parámetros para resolver ecuaciones no homogéneas fue introducido por la “realeza matemática”, a saber, Leonhard Euler, y luego ampliado por Joseph-Louis Lagrange. Es una increíble pieza matemática, pero de ninguna manera es una bala de plata para resolver ecuaciones diferenciales.

Al producir una solución para una ecuación no homogénea, debe tener soluciones para la ecuación homogénea asociada, estas también deben ser linealmente independientes (que es el propósito del Wronskian si ha estado haciendo alguna lectura).

Encontrar la solución a la ecuación no homogénea solo es trivial cuando los coeficientes de las derivadas son relativamente simples, como las constantes. En la mayoría de los casos, encontrar tales soluciones lleva mucho tiempo o simplemente no es posible (por supuesto, hay muchas vías y enfoques para agotar antes de llegar a eso).

Answer 3

No puede resolver todas las ecuaciones usando la variación de parámetros