Aquí hay un par de problemas de cálculo que no son necesariamente súper difíciles, pero lo obligan a obtener una comprensión más profunda de algunos conceptos:
- Considere una función [matemática] f (x) [/ matemática] y una “función de área” (es decir, integral) de [matemática] f (x) [/ matemática], que llamaremos [matemática] F (x) [/matemáticas]. Encuentre dos expresiones equivalentes para el área de una pequeña franja de [math] f (x) [/ math] de width [math] \ Delta x [/ math], y luego use la definición formal de la derivada para mostrar que la derivada de [matemáticas] F (x) [/ matemáticas] es [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]. Esto es equivalente a decir que [math] \ displaystyle \ dfrac {d} {dx} \ left (\ int {f (x) \ dx} \ right) = f (x) [/ math]. Considere esto una “prueba” informal del teorema fundamental del cálculo.
- Demuestre que la derivada de [math] ln (x) [/ math] es [math] 1 / x [/ math]. Hay varias estrategias para probar esto, pero su prueba probablemente debería incluir una diferenciación implícita o usar reglas básicas de registro.
- Desarrolle un argumento intuitivo (o riguroso, si puede) para determinar si la suma infinita [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {5e ^ nn ^ 4 sin (n ^ n) +100 } {1-3 ^ {n!}} [/ Math] converge o diverge, y trata de entender completamente por qué. Además, clasifique lo siguiente en términos de qué tan grandes crecen para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas]: [matemáticas] e ^ n, n ^ n, ln (n), n !, n ^ 2, 4 ^ n [ /matemáticas].