¿Qué es dy / dx? ¿Cómo lo derivamos?

Answer 1

En realidad, también hay una teoría y una historia.

Para llegar a la derivación del derivado, históricamente, tenemos que volver al venerable Sir Isaac Newton. Usar el punto de diferenciación con derivados del tiempo es su estilo de notación.

La configuración de [math] \ dot y [/ math] tipográficamente presentaba un desafío esos días. Entonces, algunos científicos menos ingeniosos tuvieron que usar [math] dy [/ math] en su lugar.

Newton como físico estaba principalmente interesado en mover coordenadas con respecto al tiempo. Por lo tanto, todas sus funciones [matemáticas] x, y, z, \ puntos [/ matemáticas] que tienen el parámetro de tiempo, no se molestó en hacerlo explícito.

Ahora, la trayectoria de una curva plana sería [matemática] (x, y) [/ matemática], su tangente [matemática] (\ dot x, \ dot y) [/ matemática], con pendiente [matemática] \ frac {\ dot y} {\ dot x} [/ math].

Esa es una notación elegante de tipo. Leibnitz podría simplemente haberse equivocado, de alguna manera, en mi humilde opinión, eso sería, por supuesto.

Answer 2

[math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] es simplemente la derivada de alguna función, [math] y [/ math], en términos de [math] x [/ math].

Lo lees como, “la derivada de [matemáticas] y [/ matemáticas], con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]”.

Al “derivarlo”, supongo que quiere decir, recuperar la función original.

Para hacer eso, uno debe tomar la integral de la función.

En este caso,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {dy} {dx} dx = y [/ matemáticas]

Esto es válido según el principio fundamental del cálculo porque dice que una integral indefinida es el reverso de una derivada. Entonces, para poner eso en perspectiva, la integral y la derivada se cancelan mutuamente, dejando [math] y [/ math].

Answer 3

Como otros han dicho, [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] es la derivada de la función [math] y = f (x) [/ math], a veces escrita [math] f ‘(x) [/matemáticas]. Para que tenga sentido, [math] y [/ math] debe depender de [math] x [/ math] y decimos que es una función de [math] x [/ math]. Eso es lo que denoté con [math] f () [/ math] arriba. Podría haber usado una letra diferente.

Pero, ¿qué es un derivado? Es la tasa de cambio de [matemáticas] x [/ matemáticas] en el punto [matemáticas] x [/ matemáticas]. Esto también depende de [math] x [/ math] y también lo es otra función. ¿Qué es una tasa de cambio? Si está viajando y conoce su distancia recorrida como una función, [matemática] f (t) [/ matemática], del tiempo, entonces [matemática] f ‘(t) [/ matemática] es qué tan rápido está cambiando, que es su velocidad, y [matemáticas] f ” (t) [/ matemáticas] es, su aceleración, la derivada de [matemáticas] f ‘(t) [/ matemáticas].

¿Cómo lo derivas? Puede aproximarlo utilizando un pequeño cambio en [matemática] x [/ matemática] y observando cuánto cambia [matemática] y [/ matemática]. Luego divide uno por el otro. Tome la función [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]. Si cambia [matemática] x [/ matemática] a [matemática] x_1 [/ matemática], la proporción es [matemática] \ frac {x_1 ^ 2-x ^ 2} {x_1-x} [/ matemática]. Puede simplificar esto como [matemáticas] x_1 + x [/ matemáticas]. Ahora hacemos [matemática] x_1 [/ matemática] (que puede ser menor que [matemática] x [/ matemática] o mayor que [matemática] x [/ matemática]; debe considerar ambos casos) muy cerca de [matemática] x [/matemáticas]. Entonces [math] x_1 + x [/ math] estará cerca de la derivada de [math] x ^ 2 [/ math]. No puede poner [math] x_1 = x [/ math] o habría dividido entre cero y [math] \ frac00 [/ math] no está definido. Pero puede ver que [matemática] 2x [/ matemática] es un número (de hecho, una función de [matemática] x [/ matemática]) que las aproximaciones se pueden hacer tan cerca como desee tomando [matemática] x_1 [ / math] lo suficientemente cerca de [math] x [/ math].

Como ejemplo, regrese al ejemplo de distancia, velocidad, aceleración. Deja caer una piedra desde una torre. Deje que la distancia desde la parte superior de la torre en el tiempo [matemática] t [/ matemática] sea [matemática] s [/ matemática]. Entonces, si no hay resistencia del aire, [matemáticas] s = 9.81t ^ 2 [/ matemáticas] —bueno, hasta que la piedra golpee el suelo. Esto es como el ejemplo anterior, excepto que tengo el coeficiente [matemáticas] 9.81 [/ matemáticas].

Les dejo que utilicen el método anterior para mostrar que la derivada es [matemática] 9.81t [/ matemática]. Esta es la velocidad en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]. Llame a esto [matemáticas] v [/ matemáticas]. Luego vea si puede demostrar que la derivada de [math] v [/ math] (esa es la segunda derivada de [math] s [/ math]) es [math] 9.81 [/ math]. Esa es la aceleración debida a la gravedad en m / s / s (metros por segundo por segundo).