¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial [matemática] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} + y = 2e ^ x [/ math]?

Answer 1

Al igual que con cualquier ODE de segundo orden no homogéneo, primero encontraremos la solución a la ecuación homogénea (llame a esto [matemáticas] y_h [/ matemáticas]), y luego encontraremos una solución particular (llame a esto [matemáticas] y_p [/ math]) a la ecuación no homogénea. Agregar estos dos produce la solución general de la ODE.

Paso uno: solución homogénea

Entonces, en este caso, nuestra ecuación característica / auxiliar / complementaria es [matemática] r ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática], y sus raíces son [matemática] r = \ pm i [/ matemática], así que desde la solución a una EDO cuya ecuación característica tiene raíces complejas [matemáticas] \ alpha \ pm \ beta i [/ matemáticas] toma la forma [matemáticas] C_1e ^ {\ alpha x} \ cos (\ beta x) + C_2e ^ {\ alpha x } \ sin (\ beta x) [/ math],

[matemáticas] y_h (x) = C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x) [/ matemáticas]

Paso dos: solución particular

Ahora encontraremos una solución particular, y podemos hacerlo utilizando la variación de parámetros. Generalmente, la variación de parámetros es un método bastante poderoso porque produce una integral que generalmente es computable en términos de funciones elementales, e incluso si no lo es, casi siempre se puede expresar como una especie de función integral especial.

Recuerde que la solución particular, [math] y_p [/ math], toma la forma [math] v_1y_1 + v_2y_2 [/ math] donde

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = \ int {\ dfrac {-y_2 f (x)} {aW [y_1, y_2]} \ dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle v_2 = \ int {\ dfrac {y_1 f (x)} {aW [y_1, y_2]} \ dx} [/ matemáticas]

[math] a [/ math] es el coeficiente de la segunda derivada en el ODE original, [math] f (x) [/ math] es el término forzado (el RHS del ODE original), [math] y_1 [/ math] y [math] y_2 [/ math] son ​​las dos soluciones linealmente independientes, y [math] W [y_1, y_2] [/ math] es el Wronskian, que viene dado por

[matemáticas] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1 ‘& y_2’ \ end {bmatrix} = y_1 y_2 ‘- y_2 y_1’ [/ math]

Calculemos primero el Wronskian:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos (x) & \ sin (x) \\ – \ sin (x) & \ cos (x) \ end {bmatrix} = \ cos ^ 2 (x) + \ sin ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas]

Ahora conectaremos todo a la fórmula integral para [math] v_1 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = \ int {-2 \ sin (x) e ^ x \ dx} [/ matemáticas]

Integrando por partes con [math] u = \ sin (x) [/ math] y [math] dv = e ^ x [/ math] produce

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = -2 \ sin (x) e ^ x + 2 \ int {\ cos (x) e ^ x \ dx} [/ matemáticas]

La segunda integral se puede integrar por partes nuevamente con [math] s = \ cos (x) [/ math] y [math] dt = e ^ x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = -2 \ sin (x) e ^ x + 2 \ cos (x) e ^ x – 2 \ int {\ sin (x) e ^ x \ dx} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la integral que tenemos ahora es exactamente la misma que [math] v_1 [/ math], entonces:

[matemáticas] v_1 = -2 \ sin (x) e ^ x + 2 \ cos (x) e ^ x – v_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v_1 = e ^ x (\ cos (x) – \ sin (x)) [/ matemáticas]

A continuación, intentaremos encontrar [math] v_2 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle v_2 = \ int {2 \ cos (x) e ^ x \ dx} [/ matemáticas]

Podemos usar un método muy similar para resolver esta integral (integrar por partes dos veces hasta que la integral se vea como la integral original, luego reorganizar), y resulta ser:

[matemáticas] v_2 = e ^ x (\ sin (x) + \ cos (x)) [/ matemáticas]

Finalmente, dado que ahora sabemos [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 [/ matemáticas], podemos escribir la solución particular, [matemáticas] y_p [/ matemáticas]:

[matemáticas] y_p = e ^ x \ cos (x) (\ cos (x) – \ sin (x)) + e ^ x \ sin (x) (\ sin (x) + \ cos (x)) [/ matemáticas]

Sin embargo, podemos distribuir para simplificar:

[matemáticas] y_p = e ^ x (\ cos ^ 2 (x) – \ cos (x) \ sin (x) + \ sin ^ 2 (x) + \ sin (x) \ cos (x)) [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ implica y_p = e ^ x [/ matemáticas]

Paso tres: principio de superposición

Ahora, agregaremos las soluciones particulares y homogéneas para obtener la solución general:

[matemáticas] y (x) = y_h + y_p = \ en caja {C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x) + e ^ x} [/ matemáticas]

Answer 2

Estas ecuaciones diferenciales se conocen como ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Aquí denotamos [matemáticas] d / dx, [/ matemáticas] [matemáticas] d ^ 2 / dx ^ 2, d ^ 3 / dx ^ 3… [/ matemáticas] etc. por D, [matemáticas] D ^ 2, D ^ 3 … [/ matemáticas] etc.

tal que [matemática] dy / dx = D, d ^ 2y / dx ^ 2 = D ^ 2y, d ^ 3y / dx ^ 3 = D ^ y [/ matemática]

Se le conoce como el operador D.

La solución para tales ecuaciones viene dada por:

y = CF + PI

donde, CF es la función complementaria y PI es la integración particular

Para encontrar la función complementaria.

[matemática] ([/ matemática] [matemática] d ^ 2y / dx ^ 2) + y = 0 [/ matemática]

o, [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] D ^ 2y) + y = 0 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] y (D ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

o, [matemática] (D ^ 2 + 1) = 0 [/ matemática] (esta es la ecuación auxiliar)

o, [matemáticas] D ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] D = \ pm \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] D = + i, -i [/ matemáticas]

Cuando un par de raíces es imaginario,

[matemáticas] m = a + ib, n = a-ib [/ matemáticas]

Aquí a = 0, b = 1.

Por lo tanto, [matemáticas] y = (Ccosx + Dsinx) [/ matemáticas] es la función complementaria

donde C y D son constantes arbitrarias.

Para encontrar integral particular

Aquí tenemos [matemáticas] (D ^ 2 + 1) y = 2 (e ^ x) [/ matemáticas]

El IP = [matemáticas] 2 (e ^ x) / {(D ^ 2) +1} [/ matemáticas] [Poner D = 1] = [matemáticas] 2 (e ^ x) / {(1 ^ 2) + 1} = e ^ x [/ matemáticas]

Entonces, la solución completa de la ecuación diferencial es: –

[matemáticas] y = Ccosx + Dsinx + e ^ x [/ matemáticas]

Answer 3

OKAY,

Deje, [matemáticas] \ frac {d} {dx} = D [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} = D ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora la pregunta se reduce a [matemáticas] {D ^ 2} y + y = 2 e ^ x [/ matemáticas].

Entonces su ecuación complementaria se convierte en [matemáticas] m ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Esto da 2 valores de m, uno es m1 = ‘+ i’ y otro es m2 = ‘-i’. Ahora debe saber acerca de la función complementaria cuando la ecuación produce un par de raíces imaginarias, que es

[matemáticas] CF = e ^ {ax} (C1 cosbx + C2 sinbx) [/ matemáticas].

La fórmula anterior es aplicable cuando las raíces son como [matemáticas] m1 = a + ib, m2 = a- ib [/ matemáticas]. Aquí a = 0 y b = 1 y C1 y C2 son constantes.

Por lo tanto, CF = [matemáticas] (C1 \ cos x + C2 \ sin x) [/ matemáticas].

Ahora es el momento de calcular PI

Tenemos [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] en el lado derecho. Sea X, ya que es una función de x.

PI = 2 × [matemáticas] \ frac {1} {f (D)} × e ^ x [/ matemáticas].

Como, [matemáticas] X = e ^ x [/ matemáticas] por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {1} {f (D)} = \ frac {1} {f (j)} [/ matemáticas]. Aquí j es el coeficiente de x en [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]

Por lo tanto, PI = [matemáticas] 2 × \ frac {1} {1 ^ 2 + 1} e ^ x [/ matemáticas].

=> PI = [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]

Entonces, la solución final = CF + PI

=> [matemáticas] (C1 \ cos x + C2 \ sin x) + e ^ x [/ matemáticas].

Tan fácil como eso.

¡Espero eso ayude!