A2A: ¿Cómo resuelvo esta desigualdad?
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {| x + y |} {1+ | x + y |} <\ dfrac {| x |} {1+ | x |} + \ dfrac {| y |} {1+ | y |} [/ matemáticas]
Primero, observe que si [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o si [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], entonces el lado izquierdo es igual al lado derecho, por lo que la desigualdad no es cierta en ese caso. Pero resulta ser cierto para todos los que no sean cero [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y. [/ Matemáticas] Aquí hay una prueba.
Comenzando con la desigualdad del triángulo,
- ¿Las soluciones diferenciales parciales homogéneas lineales tienen una solución única, o dos o más?
- ¿Cuál es la solución de [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {6x + 5y-7} {2x + 18y-14} [/ math]?
- ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial logística con recolección constante x ‘= x (1-x) -h para todos los valores del parámetro h> 0?
- ¿Me puede dar algunos problemas de cálculo desafiantes (excluyendo la sustitución trigonométrica y las ecuaciones diferenciales porque todavía no sé lo suficiente sobre ellas)?
- ¿Qué es dy / dx? ¿Cómo lo derivamos?
[matemáticas] \ qquad | x | + | y | \ ge | x + y | [/ math]
entonces, por Lemma 1, (ver abajo),
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2+ | x + y |} {1+ | x + y |} \ ge \ dfrac {2+ | x | + | y |} {1+ | x | + | y | }[/matemáticas]
también, para distintos de cero [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática],
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2+ | x | + | y |} {1+ | x | + | y |}> \ dfrac {2+ | x | + | y |} {1+ | x | + | y | + | xy |} [/ matemáticas]
poniendo estas dos últimas desigualdades juntas,
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2+ | x + y |} {1+ | x + y |}> \ dfrac {2+ | x | + | y |} {1+ | x | + | y | + | xy |} [/ matemáticas]
dividir el lado derecho en dos fracciones,
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2+ | x + y |} {1+ | x + y |}> \ dfrac {1+ | y |} {1+ | x | + | y | + | xy |} + \ dfrac {1+ | x |} {1+ | x | + | y | + | xy |} [/ math]
simplificar el lado derecho
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2+ | x + y |} {1+ | x + y |}> \ dfrac {1} {1+ | x |} + \ dfrac {1} {1+ | y | } [/matemáticas]
simplificar el lado izquierdo,
[matemáticas] \ qquad 1 + \ dfrac {1} {1+ | x + y |}> \ dfrac {1} {1+ | x |} + \ dfrac {1} {1+ | y |} [/ matemáticas ]
multiplique ambos lados por [matemáticas] -1 [/ matemáticas], voltee el signo de desigualdad y agregue [matemáticas] 2 [/ matemáticas] a ambos lados …
[matemáticas] \ qquad 1 – \ dfrac {1} {1+ | x + y |} <1- \ dfrac {1} {1+ | x |} + 1- \ dfrac {1} {1+ | y | }[/matemáticas]
y finalmente, para todas las [matemáticas] x \ ne 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ ne 0 [/ matemáticas] reales, se deduce que
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {| x + y |} {1+ | x + y |} <\ dfrac {| x |} {1+ | x |} + \ dfrac {| y |} {1+ | y |} \\\ blacksquare [/ math]
[matemáticas] ~ \\ ~ [/ matemáticas]
Material adicional
Lema 1: [matemáticas] ~~ \ text {If} ~~ b \ ge a> 0 ~~ \ text {then} ~~ \ dfrac {2 + a} {1 + a} \ ge \ dfrac {2 + b } {1 + b} [/ matemáticas]
Prueba de Lema 1: Comience con
[matemáticas] \ qquad b \ ge a [/ matemáticas],
y agrega [matemáticas] 2 + a + b + ab [/ matemáticas] a ambos lados, dándote
[matemáticas] \ qquad 2 + a + 2b + ab \ ge 2 + 2a + b + ab [/ matemáticas]
factorizarlo …
[matemáticas] \ qquad (2 + a) (1 + b) \ ge (1 + a) (2 + b) [/ matemáticas]
luego divida ambos lados entre [matemáticas] (1 + a) (1 + b) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2 + a} {1 + a} \ ge \ dfrac {2 + b} {1 + b} [/ matemáticas]
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
Corolario: [matemáticas] \ text {para real} ~~ a> 0, b> 0, ~~ \ dfrac {a + b} {1 + a + b} <\ dfrac {a} {1 + a} + \ dfrac {b} {1 + b} [/ matemáticas]
Este es un resultado ligeramente más fuerte que la prueba principal. Para mayor claridad, repetiré los pasos aquí, usando [matemáticas] a [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] | x | [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] | y | [/ matemáticas].
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2 + a + b} {1 + a + b}> \ dfrac {2 + a + b} {1 + a + b + ab} [/ matemáticas]
dividir el lado derecho en dos fracciones,
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {2 + a + b} {1 + a + b}> \ dfrac {1 + b} {1 + a + b + ab} + \ dfrac {1 + a} {1 + a + b + ab} [/ matemáticas]
simplificar los lados izquierdo y derecho,
[matemáticas] \ qquad 1 + \ dfrac {1} {1 + a + b}> \ dfrac {1} {1 + a} + \ dfrac {1} {1 + b} [/ matemáticas]
multiplique ambos lados por [matemáticas] -1 [/ matemáticas], voltee el signo de desigualdad y agregue [matemáticas] 2 [/ matemáticas] a ambos lados …
[matemáticas] \ qquad 1 – \ dfrac {1} {1 + a + b} <1- \ dfrac {1} {1 + a} + 1- \ dfrac {1} {1 + b} [/ matemáticas]
y luego se sigue que
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {a + b} {1 + a + b} <\ dfrac {a} {1 + a} + \ dfrac {b} {1 + b} [/ matemáticas]