De [matemáticas] 3xy \, dx + (1 + x ^ {2}) \, dy = 0 [/ matemáticas]
tenemos [matemáticas] M (x, y) = 3xy [/ matemáticas] y [matemáticas] N (x, y) = (1 + x ^ {2}) [/ matemáticas]
Podemos resolver esta ecuación tratándola como una ecuación diferencial exacta, lo que significa que [math] M_ {y} = N_ {x} [/ math] debe ser verdadera. Mediante un cálculo rápido, podemos ver que no lo es, por lo que debemos encontrar el factor integrador en forma de
[matemáticas] \ exp (\ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {M_ {y} – N_ {x}} {N} \, dx) [/ math]
- ¿Cómo resuelvo [matemáticas] \ frac {| x + y |} {1+ | x + y |} <\ frac {| x |} {1+ | x |} + \ frac {| y |} {1 + | y |} [/ matemáticas]?
- ¿Las soluciones diferenciales parciales homogéneas lineales tienen una solución única, o dos o más?
- ¿Cuál es la solución de [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {6x + 5y-7} {2x + 18y-14} [/ math]?
- ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial logística con recolección constante x ‘= x (1-x) -h para todos los valores del parámetro h> 0?
- ¿Me puede dar algunos problemas de cálculo desafiantes (excluyendo la sustitución trigonométrica y las ecuaciones diferenciales porque todavía no sé lo suficiente sobre ellas)?
que, para nuestro caso, es
[matemáticas] \ exp (\ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {x} {1 + x ^ {2}} \, dx) [/ math]
[math] \ Rightarrow \ sqrt {x ^ {2} +1} [/ math]
Ahora, para que nuestra ecuación diferencial sea exacta, simplemente la multiplicamos por nuestro factor integrador para recibir
[matemáticas] \ sqrt {x ^ {2} +1} (3xy) \, dx + (1 + x ^ {2}) \ sqrt {x ^ {2} +1} \, dy = 0 [/ matemáticas]
lo que nos permite proceder a resolverlo como cualquier otra ecuación diferencial exacta
[math] \ Rightarrow f (x, y) = \ displaystyle \ int \ sqrt {x ^ {2} +1} (3xy) \, dx + g (y) [/ math]
[matemática] \ Rightarrow f (x, y) = (x ^ {2} + 1) ^ {\ frac {3} {2}} y + g (y) [/ math]
[matemática] \ Rightarrow f_ {y} = (x ^ {2} + 1) ^ {\ frac {3} {2}} + g ^ {‘} (y) [/ math]
Establezca [math] f_ {y} \ equiv N_ {x} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow (x ^ {2} + 1) ^ {\ frac {3} {2}} + g ^ {‘} (y) = (1 + x ^ {2}) \ sqrt {x ^ { 2} + 1} [/ matemáticas]
Resuelva para [math] g ^ {‘} (y) [/ math] y luego integre la expresión con respecto a [math] y [/ math] para [math] g (y) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow g ^ {‘} (y) = (1 + x ^ {2}) \ sqrt {x ^ {2} +1} – (x ^ {2} +1) ^ {\ frac {3 } {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow (1 + x ^ {2}) \ sqrt {x ^ {2} +1} y – (x ^ {2} +1) ^ {\ frac {3} {2}} y [/ matemáticas]
Entonces, nuestra forma final para [math] f (x, y) [/ math], nuestra solución, es
[matemáticas] f (x, y) = (1 + x ^ {2}) (\ sqrt {x ^ {2} +1}) y + C [/ matemáticas]
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