¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial d ^ 2y / dx ^ 2 + y = secx?

Answer 1

Resolver [matemáticas] y ” + y = \ seg (x) [/ matemáticas]

Podemos usar variación de parámetros.

Primero, aislaremos la ecuación característica (también conocida como ecuación auxiliar, ecuación complementaria, etc.) y encontraremos la solución a la ecuación homogénea (la ecuación donde el RHS es cero):

CE: [matemática] r ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática], [matemática] r_1 = i [/ matemática], [matemática] r_2 = -i [/ matemática]

Dado que la solución a un EDO cuya ecuación característica tiene raíces complejas [matemáticas] \ alpha \ pm \ beta i [/ matemáticas] toma la forma [matemáticas] C_1e ^ {\ alpha x} \ cos (\ beta x) + C_2e ^ { \ alpha x} \ sin (\ beta x) [/ math],

[matemáticas] \ implica y_h (x) = C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x) [/ matemáticas]

A continuación, utilizaremos la variación de parámetros para encontrar la solución particular a la ecuación no homogénea:

Recuerde que la solución particular, [math] y_p (x) [/ math] toma la forma [math] v_1y_1 + v_2y_2 [/ math] donde

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = \ int {\ dfrac {-y_2 f (x)} {aW [y_1, y_2]} \ dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle v_2 = \ int {\ dfrac {y_1 f (x)} {aW [y_1, y_2]} \ dx} [/ matemáticas]

[math] a [/ math] es el coeficiente de la segunda derivada en el ODE original, [math] f (x) [/ math] es el término forzado (el RHS del ODE original) y [math] W [y_1 , y_2] [/ math] es el Wronskian, que viene dado por

[matemáticas] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1 ‘& y_2’ \ end {bmatrix} = y_1 y_2 ‘- y_2 y_1’ [/ math]

Calculemos primero el Wronskian:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos (x) & \ sin (x) \\\ cos (x) & – \ sin (x) \ end {bmatrix} = \ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas]

Ahora conectaremos todo a la fórmula integral para [math] v_1 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle v_1 = \ int {- \ sin (x) \ sec (x) \ dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle v_1 = \ int {- \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \ dx} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle v_1 = \ int {- \ tan (x) \ dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v_1 = \ ln | \ cos (x) | [/ matemáticas]

Y para [math] v_2 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle v_2 = \ int {\ cos (x) \ sec (x) \ dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle v_2 = \ int {1 \ dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle v_2 = x [/ matemáticas]

Por lo tanto, nuestra solución particular es:

[matemáticas] y_p (x) = \ ln | \ cos (x) | \ cos (x) + x \ sin (x) [/ matemáticas]

Finalmente, podemos agregar [math] y_h (x) [/ math] a [math] y_p (x) [/ math] para obtener nuestra solución general:

[matemáticas] \ boxed {y (x) = C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x) + \ ln | \ cos (x) | \ cos (x) + x \ sin (x)} [/ math ]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2y} {\ text {d} x ^ 2} + y = \ sec x \ tag * {} [/ math]

1. Solución homogénea a DE.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2y} {\ text {d} x ^ 2} + y = 0 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle y = e ^ {kx}, \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = ke ^ {kx}, \ frac {\ text {d} ^ 2y} { \ text {d} x ^ 2} = k ^ 2e ^ {kx} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2y} {\ text {d} x ^ 2} + y = 0 \ iff k ^ 2e ^ {kx} + e ^ {kx} = 0 \ tag * {}[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle k ^ 2e ^ {kx} + e ^ {kx} = 0 \ iff k ^ 2 + 1 = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle k ^ 2 + 1 = 0 \ iff k = \ pm i \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = e ^ {ix} \ iff y = c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \ tag * {} [/ matemáticas]

Nuestra solución complementaria a la ecuación diferencial no homogénea es,

[matemáticas] \ displaystyle y_1 = c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \ tag * {} [/ matemáticas]

2. Método de variaciones de parámetros para encontrar la solución no homogénea.

[matemáticas] \ displaystyle y_2 = u_1 \ cos x + u_2 \ sin x \ tag * {} [/ matemáticas]

Solo tenemos que descubrir qué son [math] u_1 [/ math] y [math] u_2 [/ math],

[matemáticas] \ displaystyle y_2 = u_1 \ cos x + u_2 \ sin x, \ frac {\ text {d} y_2} {\ text {d} x} = u_1 ‘\ cos x + u_2’ \ sin x-u_1 \ sen x + u_2 \ cos x \ tag * {} [/ math]

Necesitamos agregar alguna condición a la ecuación diferencial anterior para que sea más fácil de resolver,

[matemáticas] \ displaystyle u_1 ‘\ cos x + u_2’ \ sin x = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

Continuo

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} y_2} {\ text {d} x} = – u_1 \ sin x + u_2 \ cos x, \ frac {\ text {d} ^ 2y_2} {\ text { d} x ^ 2} = – u_1 ‘\ sin x + u_2’ \ cos x-u_1 \ cos x-u_2 \ sin x \ tag * {} [/ math]

Simplemente conecte lo que tengamos en la ecuación diferencial,

[matemática] \ displaystyle -u_1 ‘\ sin x + u_2’ \ cos x-u_1 \ cos x-u_2 \ sin x + u_1 \ cos x + u_2 \ sin x = \ sec x \ tag * {} [/ matemática]

Reduce a,

[matemáticas] \ displaystyle -u_1 ‘\ sin x + u_2’ \ cos x = \ sec x \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora volviendo a lo que hemos restringido antes,

[matemáticas] \ displaystyle u_1 ‘\ cos x + u_2’ \ sin x = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -u_1 ‘\ sin x + u_2’ \ cos x = \ sec x \ tag * {} [/ matemáticas]

Por la regla de Cramer,

[matemáticas] \ displaystyle u_1 ‘= \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & \ sin x \\\ sec x & \ cos x \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos x & \ sin x \ \ – \ sin x & \ cos x \ end {bmatrix}} \ iff \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & \ sin x \\\ sec x & \ cos x \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } \ cos x & \ sin x \\ – \ sin x & \ cos x \ end {bmatrix}} = – \ frac {\ tan x} {\ cos ^ 2x + \ sin ^ 2x} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle u_1 ‘= – \ tan x \ iff u_1 = – \ int \ frac {\ sen x} {\ cos x} \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle u_1 = – \ int \ frac {\ sin x} {\ cos x} \ mathrm {d} x \ iff u_1 = \ ln | \ cos x | \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle u_2 ‘= \ frac {\ begin {bmatrix} \ cos x & 0 \\ – \ sin x & \ sec x \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos x & \ sin x \\ – \ sin x & \ cos x \ end {bmatrix}} \ iff \ frac {\ begin {bmatrix} \ cos x & 0 \\ – \ sin x & \ sec x \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos x & \ sin x \\ – \ sin x & \ cos x \ end {bmatrix}} = \ frac {1} {\ cos ^ 2x + \ sin ^ 2x} \ tag * {} [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle u_2 ‘= 1 \ iff u_2 = \ int \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle u_2 = \ int \ mathrm {d} x \ iff u_2 = x \ tag * {} [/ math]

La solución particular es,

[matemáticas] \ displaystyle y_2 = u_1 \ cos x + u_2 \ sin x \ iff y_2 = \ ln | \ cos x | \ cos x + x \ sin x \ tag * {} [/ matemáticas]

3. Resultados finales

Ahora es nuestro turno de escribir la solución general,

[matemáticas] \ displaystyle y = y_1 + y_2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + \ ln | \ cos x | \ cos x + x \ sin x \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Intente resolver esta ecuación diferencial utilizando el método de Variación de parámetros.