¿Qué es [math] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ sqrt {\ sin x} [/ math] [math] \, \, dx [/ math]?

Answer 1

[math] \ sqrt {\ sin {x}} [/ math] es una función que no tiene una integral expresable en forma elemental. Es una de una familia de funciones conocidas como integrales elípticas, y afortunadamente se han estudiado y analizado ampliamente, por lo que existen varias técnicas numéricas bien establecidas que pueden ayudarnos a evaluar una integral definida.

Deje que [math] T = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ sqrt {\ sin {x}} \, \ mathrm dx [/ math]

Primero, recuerde que [math] \ sin {\ theta} \ equiv \ cos {\ left (\ theta – \ frac {\ pi} {2} \ right)} [/ math]. Además, [matemáticas] \ cos {2 \ psi} \ equiv 1 – 2 \ sin ^ 2 {\ psi} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ por lo tanto \ sin {\ theta} \ equiv 1 – 2 \ sin ^ 2 {\ left (\ frac {\ theta} {2} – \ frac {\ pi} {4} \ right)} [/ math ]

Deje que [matemática] u = \ frac {x} {2} – \ frac {\ pi} {4} \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ frac {1} {2} \, \ mathrm dx [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ sqrt {1 – 2 \ sin ^ 2 {\ scriptsize \ left (\ frac {x} {2 } – \ frac {\ pi} {4} \ right)}} \, \ mathrm dx \\ & = 2 \ int _ {- \ frac {\ pi} {4}} ^ {- \ frac {\ pi} { 8}} \ sqrt {1 – 2 \ sin ^ 2 {u}} \, \ mathrm du \\ & = 2 \ bigg [\ mathrm E \ left (u \ \ big \ vert \ 2 \ right) \ bigg] _ {- \ frac {\ pi} {4}} ^ {- \ frac {\ pi} {8}} \\ & = 2 \ left [\ mathrm E \ left (- {\ scriptsize \ frac {\ pi} {8}} \ \ big \ vert \ 2 \ right) – \ mathrm E \ left (- {\ scriptsize \ frac {\ pi} {4}} \ \ big \ vert \ 2 \ right) \ right] \\ & = 2 \ left [\ mathrm E \ left ({\ scriptsize \ frac {\ pi} {4}} \ \ big \ vert \ 2 \ right) – \ mathrm E \ left ({\ scriptsize \ frac {\ pi } {8}} \ \ big \ vert \ 2 \ right) \ right] \ end {align} [/ math]

donde [math] \ mathrm E \ left (\ phi \ \ big \ vert \ k ^ 2 \ right) [/ math] denota la integral elíptica incompleta del segundo tipo.

Podemos usar una herramienta como WolframAlpha Computational Knowledge Engine para llevar a cabo la evaluación numérica de esta expresión:

[math] \ mathrm E \ left (\ frac {\ pi} {4} \ \ big \ vert \ 2 \ right) \ aproximadamente 0.59907012 [/ math] – a veces conocida como la segunda constante de lemniscate .

[math] \ mathrm E \ left (\ frac {\ pi} {8} \ \ big \ vert \ 2 \ right) \ aprox 0.37215154 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ en caja {T \ aproximadamente 0.45383715} [/ matemáticas]

Answer 2

Lo ves
[math] \ sqrt {\ sin x} [/ math] no es una función integrable aunque la función existe. Cuando graficamos el gráfico de [math] \ sqrt {\ sin x} [/ math] vemos un gráfico discontinuo pero la integración solo es posible para funciones continuas.

Este es el gráfico de [math] \ sqrt {\ sin x} [/ math]

Como está claro que la gráfica de [math] \ sqrt {\ sin x} [/ math] es una gráfica discontinua, por lo tanto, no podemos integrar la función aunque la función exista.