¿Cómo cos a + cos b-cosc = 4 cos a / 2 cos b / 2 sen c / 2 -1?

Answer 1

Tenemos que demostrar que:

[matemática] cos a + cos b – cos c = {4cos (a / 2) cos (b / 2) sin (c / 2)} – 1 [/ matemática]

Aquí, suponemos que [matemáticas] a + b + c = π [/ matemáticas]

es decir, la suma de los ángulos a, byc es 180 °

[matemáticas] LHS = (cos a + cos b) – cos c [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 cos \ frac {a + b} {2} cos \ frac {ab} {2} – cos c [/ matemáticas]

[matemática] = 2 cos (\ frac {π-c} {2}) cos (\ frac {ab} {2}) – cos c [/ matemática]

[matemática] = 2 cos (\ frac {π} {2} – \ frac {c} {2}) cos (\ frac {ab} {2}) – cos c [/ matemática]

[matemática] = 2 sen \ frac {c} {2} cos (\ frac {ab} {2}) – (1 – 2sin ^ 2 \ frac {c} {2}) [/ math]

[matemáticas] = 2 sin \ frac {c} {2} cos (\ frac {ab} {2} + sin \ frac {c} {2}) – 1 [/ matemáticas]

[matemática] = 2 sin \ frac {c} {2} cos (\ frac {ab} {2} + sin \ frac {π – (a + b)} {2}) – 1 [/ matemática]

[matemáticas] = 2 sen \ frac {c} {2} cos (\ frac {ab} {2} + sin [\ frac {π} {2} – \ frac {(a + b)} {2}]) [/ matemáticas] [matemáticas] – 1 [/ matemáticas]

[matemática] = 2 sen \ frac {c} {2} cos (\ frac {ab} {2} + cos [\ frac {(a + b)} {2}]) – 1 [/ matemática]

[matemáticas] = 2 sen \ frac {c} {2} cos (\ frac {2a} {4} + cos [\ frac {(- 2b)} {4}]) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 sen \ frac {c} {2} cos (\ frac {a} {2} cos [\ frac {-b} {2}]) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4cos (\ frac {a} {2}) cos (\ frac {b} {2}) sin (\ frac {c} {2}) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = RHS [/ matemáticas]

¡Feliz matemática!

Answer 2

Esto es posible solo cuando (a + b + c = 180 °)

Antes de comenzar el problema, debe conocer la transformación y otras fórmulas.

cos C + cos D = 2 cos ((C + D) / 2) cos ((CD) / 2)

cos (AB) + cos (A + B) = (cos A cos B + sin A sin B)

…………………………. + (cos A cos B – sin A sin B)

………………………… .. = 2 cos A cos B

cos A = 1 – 2 sen ^ 2 (A / 2)

cos (90 ° – A) = sin (A)

Otra información dada:

a + b + c = 180 °

-> ((a + b) / 2) = 90 ° – (c / 2)

-> (c / 2) = 90 ° – ((a + b) / 2)

Empecemos.

LHS = cos a + cos b – cos c

= 2cos ((a + b) / 2) cos ((ab) / 2) – cos c

= 2cos (90 ° – (c / 2)) cos ((ab) / 2) – cos c

= 2sin (c / 2) cos ((ab) / 2) – (1 – 2 sen ^ 2 (c / 2))

= 2sin (c / 2) cos ((ab) / 2) + 2 sen ^ 2 (c / 2) – 1

= 2sin (c / 2) [cos ((ab) / 2) + sin (90 ° – ((a + b) / 2)] – 1

= 2sin (c / 2) [cos ((ab) / 2) + cos ((a + b) / 2)] – 1

= 2sin (c / 2) [2 cos (a / 2) cos (b / 2)] – 1

= 4 cos (a / 2) cos (b / 2) sin (c / 2) – 1 = RHS

Trabajo hecho.