Puede que no tenga un punto. Por ejemplo, la función [matemáticas] \ cos t + \ cos \ pi t [/ matemáticas] no tiene punto.
La función [math] K_1 \ operatorname {sc} (\ theta_1) + K_2 \ operatorname {sc} (\ theta_2) + \ cdots + K_n \ operatorname {sc} (\ theta_n) [/ math], donde [math] \ el nombre del operador {sc} (x) [/ math] es [math] \ sin x [/ math] o [math] \ cos x [/ math] y [math] \ theta_1 \ ne 0 [/ math], tiene un punto si y solo si [math] \ dfrac {\ theta_k} {\ theta_1} [/ math] es racional para todos [math] k [/ math]. Si su función cumple esta condición, así es como encuentra su período:
- Multiplique cada una de estas fracciones [matemática] \ dfrac {\ theta_1} {\ theta_1}, \ dfrac {\ theta_2} {\ theta_1}, \ ldots, \ dfrac {\ theta_n} {\ theta_1} [/ math] por la menor múltiplo común de sus denominadores. Debería terminar con los enteros [math] n [/ math] [math] m_1, m_2, \ ldots, m_n [/ math].
- El período de su función es [matemática] \ dfrac {2m_k \ pi t} {\ theta_k} [/ matemática] para la [matemática] k [/ matemática] que desee, donde [matemática] t [/ matemática] es la variable de la función.
Por ejemplo: let [math] f (t) = 4 \ sin (8t) +20 \ cos (20t) -5 \ sin (12t) [/ math].
Las fracciones son [matemáticas] \ dfrac {8t} {8t} [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {20t} {8t} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {12t} {8t} [/ matemáticas] , o [matemáticas] 1, \ frac {5} {2}, \ frac {3} {2} [/ matemáticas], que son todas racionales. Multiplicamos estas fracciones por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 2, 5, 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el período de [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] es [matemáticas] \ dfrac {2 (2) \ pi t} {8t} = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] – o , si lo prefiere, [math] \ dfrac {2 (5) \ pi t} {20t} = \ frac {\ pi} {2} [/ math] o [math] \ dfrac {2 (3) \ pi t } {12t} = \ frac {\ pi} {2} [/ math].
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Otro ejemplo: let [math] g (x) = 48 \ sin (80 \ pi x) -27 \ cos (100 \ pi x) -5 \ cos (60 \ pi x) +90 \ sin (70 \ pi x )[/matemáticas].
Las fracciones son [matemáticas] \ dfrac {80 \ pi x} {80 \ pi x} [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {100 \ pi x} {80 \ pi x} [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {60 \ pi x} {80 \ pi x} [/ math] y [math] \ dfrac {70 \ pi x} {80 \ pi x} [/ math], o [math] 1, \ frac { 5} {4}, \ frac {3} {4}, \ frac {7} {8} [/ math], que son todos racionales. Multiplicamos estas fracciones por [matemáticas] 8 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 8, 10, 6, 7 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el período de [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] es (usando el primer número) [matemáticas] \ dfrac {2 (8) \ pi x} {80 \ pi x} = \ frac {1} { 5} [/ matemáticas].