Los ángulos exteriores de un polígono regular de n lados son 360 / n, cada uno, entonces el ángulo interior es 180- (360 / n) o (180n-360) / n, cada uno. Entonces, la suma de los n ángulos interiores es = [(180n-360) / n] * n = 180n-360.
Los ángulos exteriores de un polígono regular de (n + 2) lados son 360 / (n + 2), cada uno, entonces el ángulo interior es 180-360 / (n + 2) o [180 (n + 2) – 360 ] / (n + 2) o [180n] / (n + 2), cada uno. Entonces, la suma de los n ángulos interiores es = (n + 2) * [180n] / (n + 2) = 180n.
Ahora, por lo tanto, la relación de la suma de los ángulos interiores de los polígonos regulares de n y n + 2 lados es
(180n-360): (180n) :: 3: 4, o
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4 * (180n-360) = 3 * (180n), o
720n – 1440 = 540n, o
180n = 1440
n = 8.
Entonces, el polígono con n = 8 lados es un octágono y la suma de los 8 ángulos interiores es = 135 * 8 = 1080 grados. (Ángulo exterior de un octágono regular = 360/8 = 45 grados, por lo tanto, cada ángulo interior = 180–45 = 135 grados.
Respuesta = 1080 grados.
