¿Cuál es la solución general de la ecuación: [matemáticas] \ tan ^ 2 \ theta + 2 \ sqrt {3} \ tan \ theta = 1? \\ (a) \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} \\ (b) \ theta = \ left (n + \ dfrac {1} {2} \ right) \ pi \\ (c) \ theta = (6n + 1) \ dfrac {\ pi} {12} \\ (d) \ theta = n \ dfrac {\ pi} {12} [/ math]

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ implica \ tan ^ 2 \ theta + 2 \ sqrt {3} \ tan \ theta-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan \ theta = \ dfrac {-2 \ sqrt {3} \ pm \ sqrt {\ left (2 \ sqrt {3} \ right) ^ 2 + 4}} {2} = \ dfrac { -2 \ sqrt {3} \ pm4} {2} = – \ sqrt {3} \ pm2 [/ math]

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} \ tan \ theta = 2- \ sqrt {3} & \ tan \ theta = -2- \ sqrt {3} \\\ tan \ theta = \ tan \ left (\ dfrac {\ pi} {12} \ right) & \ tan \ theta = \ tan \ left (\ dfrac {7 \ pi} {12} \ right) \\\ boxed {\ theta = n \ pi + \ dfrac {\ pi} {12}} & \ boxed {\ theta = n \ pi + \ dfrac {7 \ pi} {12}} \ end {array} [/ math]

[math] \ star [/ math] Al tomar la unión de ambas soluciones: –

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ theta = \ left (6n + 1 \ right) \ dfrac {\ pi} {12}} \, \, \ forall \, \, n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

Answer 2

Esta ecuación no parece ser solucionable por factorización estándar. Tendremos que involucrar la fórmula cuadrática de la siguiente manera: [matemáticas] \ displaystyle \ begin {split} \ tan \ theta & = \ dfrac {- \ left (2 \ sqrt3 \ right) \ pm \ sqrt {\ left (2 \ sqrt3 \ right) ^ 2 – 4 (1) (- 1)}} {2 (1)} \\ & = \ dfrac {-2 \ sqrt3 \ pm \ sqrt {12 +4}} {2} \\ & = \ dfrac {-2 \ sqrt3 \ pm \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ dfrac {-2 \ sqrt3 \ pm4} {2} \\ & = \ bf {- \ sqrt3 \ pm2} \ end {split} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ tan \ theta & = 2- \ sqrt3 & \ tan \ theta & = – 2- \ sqrt3 \\ \ tan \ theta & = \ tan \ dfrac {\ pi} {12} & \ tan \ theta & = \ tan \ dfrac {7 \ pi} {12} \\ \ bf {\ theta} & = \ bf {n \ pi + \ dfrac {\ pi} {12}} & \ bf \ theta & = \ bf {n \ pi + \ dfrac {7 \ pi} {12}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora, dado que el valor de [math] \ theta [/ math] es [math] \ dfrac {\ pi} {12} [/ math] o [math] \ dfrac {7 \ pi} {12} [/ math ],

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ bf {\ por lo tanto \ theta = (6n + 1) \ dfrac {\ pi} {2}}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Su respuesta correcta es (c)

Por favor, consulte el siguiente enlace

tankav

Answer 4

[matemáticas] \ tan ^ 2 (\ theta) + 2 \ sqrt {3} \ tan (\ theta) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan ^ 2 (\ theta) + 2 \ sqrt {3} \ tan (\ theta) -1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan (\ theta) = \ frac {-2 \ sqrt {3} \ pm \ sqrt {(- 2 \ sqrt {3}) ^ 2 – 4 (-1)}} {2} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-2 \ sqrt {3} \ pm \ sqrt {12 + 4}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-2 \ sqrt {3} \ pm 4} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ sqrt {3} \ pm 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces, \ tan (\ theta) = 2 – \ sqrt {3} o – (2 + \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ theta = \ arctan (2 – \ sqrt {3}) o \ arctan (- (2 + \ sqrt {3})) [/ math]