¿Cómo encuentra el valor de bronceado 88 grados, 22 minutos de arco y 45 segundos de arco manualmente?

Answer 1

Primero, descubramos qué tan lejos está este ángulo de 90 grados:

Es 1 grado, 37 minutos de arco y 15 segundos de arco menos de 90 grados.

Ahora convierta esto a radianes:

(1 + 37/60 + 15/3600) grados = 1.6208333333333… grados =

1.6208333333333… grados * (3.141592653589793… radianes) / (180 grados) =

aproximadamente .02828887829274… radianes

Hasta este punto, admitiré que he “engañado” y usado una calculadora para obtener estos resultados intermedios. Pero podría haber hecho lo mismo con un lápiz o un bolígrafo, un trozo de papel y algo de tiempo para analizar la multiplicación y las divisiones largas.

Aquí es donde aprovechamos algunas fórmulas de ángulo pequeño en trigonometría:

Para ángulos muy pequeños (como el que estamos tratando anteriormente),

sin (x) es aproximadamente igual a x

cos (x) está muy, muy cerca de 1

tan (x) = sin (x) / cos (x), que también es aproximadamente igual a x

Como recordarán, ¡la expansión de la serie Taylor para sin (x) es x – x ^ 3/3! + x ^ 5/5! – x ^ 7/7! + x ^ 9/9! – … Para ángulos muy pequeños como el que estamos trabajando, los términos de tercer orden y otros términos de orden superior se vuelven extremadamente pequeños, por lo que podemos ignorarlos sin mucha consecuencia. Lo mismo para cos (x), que se expande a 1 – x ^ 2/2. + x ^ 4/4! – x ^ 6/6! + x ^ 8/8! – … Para ángulos muy pequeños como el que estamos trabajando, el segundo orden y los términos superiores son bastante insignificantes en comparación con el primer término, que es 1.

Entonces, podemos decir, para la mayoría de los propósitos “prácticos”, que el bronceado (0.02828887829274 … radianes) es aproximadamente igual a 0.0283. Pero esta no es la respuesta que estamos buscando. Queremos el valor de tan (Pi / 2 – 0.02828887829274 …). Resulta que tan (Pi / 2 – theta) = 1 / tan (theta). Entonces, todo lo que necesitamos es tomar el recíproco de 0.0283, y esto nos da aproximadamente 35.3.

Nuevamente, hice trampa (usé una calculadora para tomar el recíproco de 0.0283 para obtener 35.3), pero esto también se puede hacer con bolígrafo o lápiz, papel y unos minutos de tiempo y esfuerzo (que era demasiado flojo para hacerlo) .

La parte más importante para resolver este problema matemático (en mi opinión) es saber cuándo son aplicables las fórmulas de aproximación de ángulo pequeño y cómo aplicarlas. En otras palabras, tan (theta) está muy, muy cerca de theta para theta muy pequeño (con theta expresado en radianes). El resto del problema es simplemente multiplicación simple y aritmética de división larga.