¿Cómo se resuelve [math] \ int \ sin ^ 4 (x) dx [/ math]?

Answer 1

Gracias por el A2A, Johnny Lopez.

No he respondido a una integral por algún tiempo, así que aquí va.

[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 4 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

Aplicamos la reducción integral , en donde [math] \ small {{\ displaystyle \ int} \ sin ^ {\ mathtt {n}} \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x = \ class {steps-node } {\ cssId {steps-node-1} {\ dfrac {\ mathtt {n} -1} {\ mathtt {n}}}} {\ displaystyle \ int} \ sin ^ {\ mathtt {n} -2} \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x- \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin ^ {\ mathtt {n} -1} \ left (x \ right)} {\ mathtt {n}}} [/ math], con [math] \ mathtt {n} = 4 [/ math]

[matemática] = \ clase {pasos-nodo} {\ cssId {pasos-nodo-2} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 2 \ left (x \ right) \ , \ mathrm {d} x- \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin ^ 3 \ left (x \ right)} {4} [/ math]

Resolvamos para [math] {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 2 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]

Usando la misma fórmula de reducción que arriba, con [math] \ mathtt {n} = 2: [/ math]

[math] = \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-3} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} 1 \, \ mathrm {d} x- \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right)} {2} [/ math]

Ahora resolvemos [math] {\ displaystyle \ int} 1 \, \ mathrm {d} x [/ math] aplicando la integral de una regla constante, en la que [math] {\ displaystyle \ int} a \ mathrm {d } x = hacha: [/ matemáticas]

[matemáticas] = x [/ matemáticas]

Enchufe las integrales resueltas: [matemáticas] \ clase {pasos-nodo} {\ cssId {pasos-nodo-4} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} 1 \, \ mathrm {d} x- \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right)} {2} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {x} {2} – \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right)} {2} [/ math]

Enchufe las integrales resueltas nuevamente:

[matemáticas] \ clase {pasos-nodo} {\ cssId {pasos-nodo-5} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 2 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x- \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin ^ 3 \ left (x \ right)} {4} [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {\ cos \ left (x \ right) \ sin ^ 3 \ left (x \ right)} {4} – \ dfrac {3 \ cos \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right)} {8} + \ dfrac {3x} {8} [/ math]

Agregue la constante y reescriba / simplifique:

[matemáticas] \ por lo tanto {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 4 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x = \ dfrac {\ sin \ left (4x \ right) -8 \ sin \ left ( 2x \ derecha) + 12x} {32} + C [/ matemáticas]

Answer 2

Puede usar la conversión de doble ángulo dos veces.

Primero desde:

sin (x) ^ 4 = sin (x) ^ 2 * sin (x) ^ 2

y:

sin (x) ^ 2 = (1 – cos (2x)) / 2

entonces:

sin (x) ^ 4 = ((1 – cos (2x)) / 2) ^ 2

a partir de aquí, obtendrá un último término trigonométrico al cuadrado que se puede sustituir usando lo siguiente:

cos (2x) ^ 2 = (cos (4x) -1) / 2

Suponiendo que conozca las antiderivadas de las funciones trigonométricas, se establece desde este punto, ya que ya no debería tener mayores poderes de las funciones trigonométricas.

Answer 3

Deje que [math] T = \ displaystyle \ int \ sin ^ 4 {x} \, \ mathrm dx [/ math]

Recuerde que [math] \ cos {2 \ theta} \ equiv 2 \ cos ^ 2 {\ theta} – 1 \ equiv 1 – 2 \ sin ^ 2 {\ theta} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ cos ^ 2 {\ theta} \ equiv \ frac {1} {2} \ left (1 + \ cos {2 \ theta} \ right) [/ math] y [math] \ sin ^ 2 {\ theta} \ equiv \ frac {1} {2} \ left (1 – \ cos {2 \ theta} \ right) [/ math]

[matemática] \ begin {align} \ why \ sin ^ 4 {\ theta} & \ equiv \ left (\ sin ^ 2 {\ theta} \ right) ^ 2 \\ & \ equiv {\ scriptsize \ frac {1} {4}} \ left (1 – \ cos {2 \ theta} \ right) ^ 2 \\ & \ equiv {\ scriptsize \ frac {1} {4}} \ left (1 – 2 \ cos {2 \ theta } + \ cos ^ 2 {2 \ theta} \ right) \\ & \ equiv {\ scriptsize \ frac {1} {4}} \ left (1 – 2 \ cos {2 \ theta} + {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ left (1 + \ cos {4 \ theta} \ right) \ right) \\ & \ equiv {\ scriptsize \ frac {3} {8}} – {\ scriptsize \ frac {1 } {2}} \ cos {2 \ theta} + {\ scriptsize \ frac {1} {8}} \ cos {4 \ theta} \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ left ({\ scriptsize \ frac {3} {8}} – {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ cos {2x} + { \ scriptsize \ frac {1} {8}} \ cos {4x} \ right) \, \ mathrm dx \\ & = \ boxed {{\ scriptsize \ frac {3} {8}} x – {\ scriptsize \ frac {1} {4}} \ sin {2x} + {\ scriptsize \ frac {1} {32}} \ sin {4x} + C} \ end {align} [/ math]

---

Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

Answer 4

Este método puede no ser del agrado de muchos.

[matemáticas] \ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ 4 x = (\ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {2 ^ 4} (e ^ {ix} -e ^ {- ix}) 4. [/ matemáticas] Ahora por teorema binomial (Use coeficientes de Pascal 1,4,6,4,1)

[matemáticas] = \ dfrac 1 {2 ^ 4} \ left \ {(e ^ {i4x} + e ^ {- i4x}) – 4 (e ^ {i3x} e ^ {- ix} + e ^ {ix} e ^ {- i3x}) + 6 e ^ {i2x} e ^ {- i2x} \ right \} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {16} \ left \ {(e ^ {i4x} + e ^ {- i4x}) – 4 (e ^ {i2x} + e ^ {- i2x}) + 6 \ right \} [/matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac 1 {16} \ izquierda \ {2 \ cos 4x-4 \ cos 2x + 6 \ derecha \} [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ sin ^ 4 x dx = \ int \ dfrac 1 {16} \ left \ {2 \ cos 4x-4 * 2 \ cos 2x + 6 \ right \} dx [/ math ]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {16} \ left \ {\ dfrac {2 \ sen 4x} {4} -4 \ sin 2x + 6x \ right \} + C [/ matemáticas]

= [matemática] \ dfrac 1 {16} \ izquierda \ {\ dfrac {\ sin 4x} {4} -4 \ sin 2x + 6x \ derecha \} + C [/ matemática]

[math] = \ boxed {\ left \ {\ dfrac {\ sin 4x-8 \ sin 2x + 12x} {32} \ right \} + C} [/ math]

Answer 5

[matemáticas] \ int \ sin ^ 4 (x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int (\ sin ^ 2 (x)) ^ 2dx [/ matemáticas] (fórmula de reducción de potencia sinusoidal)

[math] = \ int (\ frac {1} {2} – \ frac {\ cos (2x)} {2}) ^ 2dx [/ math] (Expandir)

[matemática] = \ int \ frac {1} {4} – \ frac {\ cos (2x)} {2} + \ frac {\ cos ^ 2 (2x)} {4} dx [/ math] (poder coseno fórmula de reducción)

[matemáticas] = \ int \ frac {1} {4} – \ frac {\ cos (2x)} {2} + \ frac {1} {8} + \ frac {\ cos (4x)} {8} dx [/ math] (Simplificar)

[matemáticas] = \ int \ frac {3} {8} – \ frac {\ cos (2x)} {2} + \ frac {\ cos (4x)} {8} dx [/ matemáticas] (Integrar)

[matemáticas] = \ frac {3} {8} x – \ frac {1} {4} \ sin (2x) + \ frac {1} {32} \ sin (4x) + C [/ matemáticas]

Answer 6

Como con todas las matemáticas, hay múltiples enfoques posibles. Con los poderes trigonométricos siempre puedes probar identidades y ver hasta dónde te lleva eso.

[matemáticas] \ sin ^ 4x = (\ sin ^ 2x) ^ 2 = (\ frac {1- \ cos (2x)} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora la cuadratura da

[matemáticas] (\ frac {1- \ cos (2x)} {2}) ^ 2 = \ frac {1-2 \ cos (2x) + \ cos ^ 2 (2x)} {4} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ sin ^ 4x = \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {4} \ cos ^ 2 (2x) [/ matemáticas ]

El término final ahora necesita atención.

[matemáticas] \ cos (4x) = 2 \ cos ^ 2 (2x) -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] \ cos ^ 2 (2x) = \ frac {1} {2} + \ frac {1} { 2} \ cos (4x) [/ matemáticas]

Sustituir en el trabajo anterior para obtener

[matemáticas] \ sin ^ 4x = \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {4} (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cos (4x)) [/ math]

o

[matemáticas] \ sin ^ 4x = \ frac {3} {8} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {8} \ cos (4x) [/ matemáticas]

La integración de este término por término da

[matemáticas] \ int \ sin ^ 4x dx = \ frac {3} {8} x- \ frac {1} {4} \ sin (2x) + \ frac {1} {32} \ sin (4x) + c [/matemáticas]

Para cualquier cosa superior a una cuarta potencia, debe usar fórmulas de reducción o técnicas de números complejos.

Answer 7

[matemáticas] \ int \ sin ^ 4 x dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ sin ^ 2x.sin ^ 2x dx [/ matemáticas]

[matemática] = \ int \ {(1-cos 2x) \ over 2} {(1-cos 2x) \ over 2} dx [/ math]

[math] = {1 \ over 4} \ int \ {(1-cos 2x) ^ 2} dx [/ math]

[math] = {1 \ over 4} \ int \ {(1 + cos ^ 2 2x – 2 cos2x)} dx [/ math]

[math] = {1 \ over 4} \ int \ {[1+ {1 \ over 2} {(1 + cos4x)} – 2 cos2x]} dx [/ math]

[math] = {1 \ over 4} \ int \ {(1+ {1 \ over 2} + {1 \ over 2} {cos4x} – 2 cos2x)} dx [/ math]

[math] = {1 \ over 4} \ int \ {({3 \ over 2} + {1 \ over 2} {cos4x} – 2 cos2x)} dx [/ math]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] {1 \ over 4} {[{3 \ over 2} x + {1 \ over 2} {sin4x \ over 4} – {2sin2x \ over 2}]} + C [/matemáticas]

[math] = {1 \ over 8} {[{3x} + {sin4x \ over 4} – {2sin2x}]} + C [/ math]

[math] = {3x \ over 8} – {1 \ over 4} {sin2x} + {1 \ over 32} {sin4x} + C [/ math]

Answer 8

sin ^ 4 x = [sin ^ 2 x] ^ 2 = [1/2 (1-cos2x)] ^ 2 = 1/4 [1 -2 cos2x + (cos2x) ^ 2]

Por el mismo razonamiento [cos2x] ^ 2 = 1/2 [1 + cos4x], entonces

sen ^ 4x = 1/4 [1-cos2x +1/2 (1 + cos4x)] = 3 / 4–1 / 4 cos2x +1/8 cos 4x

I = integral de sin ^ 4 x dx = 3x / 4 -1/8 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Answer 9

[matemáticas] \ int \ sin ^ 2x (1- \ cos ^ 2x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ sin ^ 2x- \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ sin ^ 2x \, dx- \ int \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int 2 \ sin ^ 2x \, dx- \ dfrac {1} {4} \ int 4 \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int 2 \ sin ^ 2x-1 + 1 \, dx- \ dfrac {1} {4} \ int \ sin ^ 22x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int 2 \ sin ^ 2x-1 + 1 \, dx- \ dfrac {1} {8} \ int 2 \ sin ^ 22x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int 2 \ sin ^ 2x-1 + 1 \, dx- \ dfrac {1} {8} \ int 2 \ sin ^ 22x-1 + 1 \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int 1- \ cos 2x \, dx- \ dfrac {1} {8} \ int 1- \ cos 4x \, dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} (x- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x) – \ dfrac {1} {8} (x- \ dfrac {1} {4} \ sin 4x) + C [/ matemáticas]

Answer 10

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 4x \ text dx \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 4x \ text dx = \ int \ sin ^ 2x (1- \ cos ^ 2x) \ text dx \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 4x \ text dx = \ int \ sin ^ 2x (1- \ cos ^ 2x) \ text dx \ iff \ int \ sin ^ 2x- \ cos ^ 2x \ sin ^ 2x \ text dx = \ int \ frac {1- \ cos2x} {2} – \ frac {\ sin ^ 22 x} {4} \ text dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1- \ cos2x} {2} – \ frac {\ sin ^ 22 x} {4} \ text dx = \ int \ frac {1} {2} – \ frac {\ cos 2x} {2} – \ frac {1} {8} + \ frac {\ cos 4x} {8} \ text dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 4x = \ frac {3x} {8} – \ frac {\ sin2x} {4} + \ frac {\ sin 4x} {32} + C \ tag * {} [/ matemáticas]

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2x \ equiv 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ cos (2x) \ equiv \ cos ^ 2x- \ sin ^ 2x \ tag * {} [/ matemáticas]