¿Cuál es la solución de la ecuación (sinx) ^ 2 + (tanx) ^ 2 = 7/12?

Answer 1

En primer lugar, comience escribiendo la ecuación usando solo [math] \ sin x [/ math] usando identidades trigonométricas, a saber [math] \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x = 1 [/ math] y [math] \ tan x = \ dfrac {\ sin x} {\ cos x} [/ math]

Después de hacerlo, la ecuación debería verse así:

[matemáticas] \ sin ^ 2x + \ dfrac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x} = \ frac {7} {12} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemática] \ sin ^ 2x (1 – \ sin ^ 2x) + \ sin ^ 2x = \ frac {7} {12} (1 – \ sin ^ 2x) [/ matemática]

Expandir y reorganizar para producir:

[matemática] \ sin ^ 4x – \ frac {31} {12} \ sin ^ 2x + \ frac {7} {12} = 0 [/ matemática]

Establecer [matemática] y = \ sin ^ 2x [/ matemática]

[matemática] y ^ 2 – \ frac {31} {12} y + \ frac {7} {12} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] 12y ^ 2 – 31y + 7 = 0 [/ matemáticas]

Conecte a la ecuación cuadrática para obtener:

[matemáticas] y = \ frac {1} {4} o \ frac {7} {3} [/ matemáticas]

Luego reintroduzca [math] \ sin x [/ math]

[matemáticas] \ sin ^ 2x = 0.25 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sen x = \ pm 0.5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ 2x = \ frac {7} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sen x = \ pm \ sqrt {\ frac {7} {3}} [/ matemáticas]

Usando el gráfico [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] que se encuentra a continuación, dibuje en las líneas [matemáticas] y = 0.5 [/ matemáticas], [matemáticas] y = -0.5 [/ matemáticas], [matemáticas] y = \ sqrt {\ frac {7} {3}} [/ math] y [math] y = – \ sqrt {\ frac {7} {3}} [/ math]

Como puede ver, las soluciones de [matemáticas] \ sen x = [/ matemáticas] [matemáticas] \ pm \ sqrt {\ frac {7} {3}} [/ matemáticas] no son válidas como el gráfico de [matemáticas] \ sen x [/ math] y las líneas [math] \ pm \ sqrt {\ frac {7} {3}} [/ math] nunca se cruzan. Eso nos deja solo con:

[matemáticas] \ sen x = 0.5 [/ matemáticas] y

[matemáticas] \ sen x = -0.5 [/ matemáticas]

Cada una de las ecuaciones anteriores tiene dos soluciones, cada una en el rango de [matemáticas] 0 \ le x \ le 2 \ pi [/ matemáticas]

Estas soluciones son: [matemáticas] \ dfrac {\ pi} {6} [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {5 \ pi} {6} [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {7 \ pi} { 6} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {11 \ pi} {6} [/ matemáticas]

Se puede encontrar tomando la función seno inversa de [math] \ pm 0.5 [/ math] y luego haciendo [math] \ pi – \ sin ^ {- 1} (0.5) [/ math] para [math] \ sin x = 0.5 [/ matemática] y [matemática] 2 \ pi – \ sin ^ {- 1} (- 0.5) [/ matemática] para [matemática] \ sin x = -0.5 [/ matemática]

Espero que esto ayude 🙂

Answer 2

(sen x) ^ 2 + (tan x) ^ 2 = 7/12, o

(sin x) ^ 2 + (sin x) ^ 2 / (cos x) ^ 2 = 7/12, o

(sin x) ^ 2 * (cos x) ^ 2 + (sin x) ^ 2 = (cos x) ^ 2 (7/12), o

(sin x) ^ 2 [(cos x) ^ 2 + 1] = [1 – (sin x) ^ 2] (7/12), o

(sin x) ^ 2 [2 – (sin x) ^ 2] = [1 – (sin x) ^ 2] (7/12), o

Deje (sen x) ^ 2 = m, entonces

m (2-m) = (1-m) (7/12), o

12 (2m – m ^ 2) = 7 (1-m), o

24m – 12m ^ 2 = 7 – 7m, o

12m ^ 2–31m + 7 = 0, o

12m ^ 2 – 3m-28m + 7 = 0, o

3 m (4 m-1) -7 (4 m-1) = 0, o

(3m-7) (4m-1) = 0, o

m = 7/3 o 1/4

sen x = m ^ 0.5 o (7/3) ^ 0.5 o (1/4) ^ 0.5 o 1.527 o 0.5

sen x no puede ser 1,527 pero puede ser 0,5.

Por lo tanto, x = arcos en 0.5 o 30 grados.

x = 30 grados.

Answer 3

Parece que debería salir bien.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle (\ sin x) ^ 2 + (\ tan x) ^ 2 = \ frac {7} {12} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x + (\ frac {\ sin x} {\ cos x}) ^ 2 = \ frac {7} {12} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x \ cos ^ 2x + \ sin ^ 2 x = \ frac {7} {12} \ cos ^ 2x \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x (1- \ sin ^ 2x) + \ sin ^ 2 x = \ frac {7} {12} (1- \ sin ^ 2x) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 x (1- \ sin ^ 2x) + \ sin ^ 2 x = \ frac {7} {12} (1- \ sin ^ 2x) \ iff \ sin ^ 2x- \ sin ^ 4x + \ sin ^ 2x = \ frac {7} {12} – \ frac {7 \ sin ^ 2x} {12} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2x- \ sin ^ 4x + \ sin ^ 2x = \ frac {7} {12} – \ frac {7 \ sin ^ 2x} {12} \ iff \ sin ^ 4x- \ frac { 31 \ sin ^ 2x} {12} + \ frac {7} {12} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 4x- \ frac {31 \ sin ^ 2x} {12} + \ frac {7} {12} = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle u = \ sin ^ 2x \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 4x- \ frac {31 \ sin ^ 2x} {12} + \ frac {7} {12} = 0 \ iff u ^ 2- \ frac {31u} {12} + \ frac {7} {12} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle u = \ frac {\ frac {31} {12} \ pm \ sqrt {\ big (\ frac {31} {12} \ big) ^ 2-4 (1) \ big (\ frac { 7} {12} \ grande)}} {2 (1)} \ iff u = \ frac {31} {24} + \ frac {25} {24}, u = \ frac {31} {24} – \ frac {25} {24} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle u = \ frac {31} {24} + \ frac {25} {24}, u = \ frac {31} {24} – \ frac {25} {24} \ iff \ sin ^ 2x = \ frac {56} {24}, \ sin ^ 2x = \ frac {1} {4} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2x = \ frac {56} {24}, \ sin ^ 2x = \ frac {1} {4} \ iff \ sin x = \ pm \ frac {1} {2}, \ sen x = \ pm \ sqrt {\ frac {7} {3}} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle sin x = \ pm \ frac {1} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {11 \ pi} {6} \ etiqueta * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin x = \ pm \ sqrt {\ frac {7} {3}} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -1 \ leq \ sin x \ leq 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ frac {7} {3}}> 1, – \ sqrt {\ frac {7} {3}} <- 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

No hay soluciones reales.

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x \ equiv 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (\ sin x) \ equiv \ sin ^ 2x \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {- \ text b \ pm \ sqrt {\ text b ^ 2-4 \ text a \ text c}} {2 \ text a} \ tag * {} [/ math]